高等数学-函数

一.函数、极限与连续

函数

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函数三要素：

自变量（x），因变量（y），对应法则；

定义域及值域

自然定义域：
y = x;
y = $sinx;$
y = $cosx \to R(定义域);$
y = $\frac{1}{x} \to (-\infty, 0) \cup (0, +\infty);$
y = $\sqrt {x} \to [0, +\infty);$
y=$log_ax \to [0, +\infty)$
y=$tan x \to{x|x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k∈Z}$
y=$\arcsin x \to [-1,1]$
y=$\arccos x \to [-1,1]$

判断两个函数是否为同一个函数
定义域相同(化简前)/运算法则相同(化简后)二者同时满足<——(充要条件)——>两函数为同一函数
例题：1.判断$y_1=\sqrt{x^2}$和$y_2=|x|$是否为同一个函数。
解：化简前看定义域
D(f1):$x^2\geq0=>x∈R$
D(f2):$x∈R$
化简后看运算法则
$y_1=\sqrt{x^2}=\begin{cases} x,x\geq0\\\\-x,x<0 \end{cases}$
$y_2=|x|=\begin{cases}x,x\geq0 \\\\-x,x<0\end{cases}$
二者同时满足，是*同一函数
2.下列各组函数中相同的是( D ).
A.$f(x)=x+1$——R,$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$——$x$
B.$f(x)=\sin x——R(f)+-都存在,g(x)=\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}—— R(f)$
C.$f(x)=\frac{1}{x}$——$x$,$g(x)=\frac{1}{[\sqrt{x}]^2}$
D.$f(x)=x+1$,$g(t)=t+1$

特殊函数

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1.分段函数
在定义域内不同区间上用不同解析式表示的函数
2.隐函数

隐函数

3.参数方程式函数

参数方程式

4.抽象函数

抽象函数

*4.1求抽象函数的定义域

例题：已知函数$y=f(x)$的定义域为[-1,1),那么函数$y=f(x-2)$的定义域是 [1,3)
解：$\because f(x)$的定义域为[-1,1)
$\therefore-1\leq x<1$
$\therefore -1 \leq x<1$
即$1 \leq x<3$

例题：已知函数$y=f(2x+3)$的定义域为(-2,2],那么函数$y=f(\frac{1}{2}x-5)$的定义域是 (8,24]
解：$\because f(x)$的定义域为(-2,2]
即$-2<x\leq 2$
$\therefore-1< 2x+3 \leq7$
$\therefore -1 < \frac{1}{2}x-5\leq7$
即$8 < x\leq24$
4.2求抽象函数的表达式
例题：已知函数$f(x)=x^2+2x$,那么函数$f(\frac{x}{2}+1)$的表达式是 $f(\frac{x}{2}+1)=\frac{x^2}{4}+2x+3$
使用直接代入法
解：$\because f(x)=x^2+2x$
当x=t时，有
$f(t)=t^2+2t$
$\therefore f(\frac{x}{2}+1)=(\frac{x}{2}+1)^2+2(\frac{x}{2}+1)$
$\therefore f(\frac{x}{2}+1)=\frac{x^2}{4}+2x+3$
例题：已知函数$f(\frac{x}{2}+1)=x^2+2x$,那么函数$f(x)$的表达式是 $f(x)=4x^2-4x$
使用换元法*
解：令$\frac{x}{2}+1=t$
有$x=2t-2$
$\therefore f(t)=(2t-2)^2+2(t-2)$
$\therefore f(t)=4t^2-4t$
即$f(x)=4x^2-4x$
例题：已知函数$f(\frac{x}{2}+1)=x^2+2x$,那么函数$f(2x-1)$的表达式是 $f(2x-1)=16x^2-16x+8$
解：令$\frac{x}{2}+1=t$
有$x=2t-2$
$\therefore f(t)=(2t-2)^2+2(t-2)$
$\therefore f(t)=4t^2-4t$
即$f(x)=4x^2-4x$
$\therefore f(2x-1)=4(2x-1)^2-4(2x-1)$
即$f(2x-1)=16x^2-16x+8$

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函数的基本特性

有界性

函数在$f(x)$的定义域内恒≥某数$K_1$,则称在定义域内有下界，$K_1$称为函数$f(x)$的定义域内的一个下界。
函数在$f(x)$的定义域内恒≤某数$K_2$,则称在定义域内有上界，$K_2$称为函数$f(x)$的定义域内的一个上界。
如果上界下界同时存在，则称函数$f(x)$在定义域内有界，有$|f(x)|\leq M(M>0)$,称M为函数$f(x)$的一个界。
求自然定义域（值域）有界无界
$y=x^2$——>$[0,+\infty)$ 有下无上（×）
$y=\sin x \to [-1,1]$(√)
$y=\cos x \to [-1,1]$(√)
$y=\tan x \to (-\infty,+\infty)$(×)

单调性

设函数$f(x)$在区间（a,b）内有定义，对于任意$x_1,x_2∈(a,b)$时：
如果恒有$f(x_1)$<$f(x_2)$,则称函数$f(x)$在（a，b）内单调增加；
如果恒有$f(x_1)$>$f(x_2)$,则称函数$f(x)$在（a，b）内单调减少；

单增单减

例题：论证函数$y=\frac{x}{1-x}$在指定区间$(-\infty,1)$上的单调性。
解：在$(-\infty,1)$上$\forall$$x_1,x_2$$x_1<x_2$
$f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_1}{1-x_1}-\frac{x_2}{1-x_2}$
即$f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_1-x_2}{(1-x_1)(1-x_2)}$
$\because$函数在指定区间$(-\infty,1)$上
$\therefore$$(1-x_1)(1-x_2)>0$且$x_1-x_2<0$
$\therefore$$f(x_1)-f(x_2)<0$
$\therefore f(x_1)<f(x_2)$
$\because f(x_1)$恒$<f(x_2)$
$\therefore$函数在区间$(-\infty,1)$单调增加

奇偶性

设函数$y=f(x)$的定义域D关于原点对称，对于任一$x∈D$：
如果恒有$f(-x)=f(x)$,则称函数$f(x)$为偶函数；
如果恒有$f(-x)=-f(x)$,则称函数$f(x)$为奇函数；
偶函数关于$y$轴对称，奇函数关于原点对称。
总结：奇函数+奇函数=奇函数
偶函数+偶函数=偶函数
奇函数+偶函数=非奇非偶函数
奇函数$\times$奇函数=偶函数
偶函数$\times$偶函数=偶函数
奇函数$\times$偶函数=奇函数

规律：

1.如果一个函数是奇函数或者偶函数，首先应该满足的条件是其定义域关于原点对称，如果定义域关于原点不对称，那么该函数肯定既不是奇函数也不是偶函数
2.如果一个奇函数在$x=0$处有定义，那么$f(0)=0$

周期性

设函数$y=f(x)$的定义域为D，若存在一个正数$T>0$，使得对于任意$x∈D$有$x\pm T∈D$，且$f(x\pm T)=f(x)$ 恒成立，则称$f(x)$为周期函数。
其中T称为$f(x)$的周期，周期函数的周期通常是指它的最小正周期。

函数	图像表达式	周期	最小正周期
$y=\sin x$	sinx	$2k\pi,k∈z$	$2\pi$
$y=|\cos x|$	cosx	$k\pi,k∈z$	$\pi$
常值函数$y=c$	常值函数	任何正有理数	不存在
狄利克雷函数	$y=\begin{cases} 1, x∈Q \\\\0,x∈Q^c\end{cases}$	任何正有理数	不存在

反函数与复合函数

把原函数$y=f(x)$的自变量和因变量对调，定义域和值域对调，运算法则逆转，就得到了它的反函数$x=f^-(y)$
例如：$y=2x,x∈(0,1)$——反函数——>$x=\frac{1}{2}y,y∈(0,2)$—可写为—>$y=\frac{1}{2}x,x∈(0,2)$
注意：只有在连续定义域内单调的函数才有反函数，否则没有！
例如：$y=x^2$和 $y=sinx$在$x∈R$范围内没有反函数！

反函数的性质

反函数和原函数的图像关于直线$y=x$对称。

反函数和原函数单调性相同。

反函数和原函数的奇偶性相同。（奇函数的反函数还是奇函数，非奇非偶函数的反函数还是非奇非偶函数，偶函数不存在反函数）

复合函数

自变量$x$——$u=g(x)$——>中间变量$u$——$y=f(u)$——>因变量$y$
由函数$y=f(u)$及$u=g(x)$构成的函数$y=f[g(x)]$称为复合函数。
注意：

1. 注意复合的先后次序，$y=f[g(x)]$和$y=g[f(x)]$是两个不同的函数；
2. 内层函数$u=g(x)$的值域一定要在外层函数$y=f(u)$的定义域内。

   基本初等函数（五类）

   幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数通称基本初等函数。

   幂函数：$y=x^\mu$（$\mu∈R$是常数）

   定义域和值域随$\mu$而异，但其在（$0,+\infty$）上总有意义，且图像总经过点（1，1）。
   

   指数函数：$y=a^x$（$a>0,a\ne1$）

   特别当$a=e$时，有$y=e^x$($e\approx2.718$)(考点).
   

   对数函数：$y=log_ax$($a>0,a\ne1$)

   特别当$a=e$时，有$y=lnx$.(考点)
   

   三角函数

   
   
   
   

   反三角函数

   

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极限

数列

数列的概念

一列有规律的数，对每个$n\in N_+$，对应着一个确定的实数，这样的一个序列叫数列。简记${x_n}$
数列一定是有无穷多项

数列极限的概念

对于数列${x_n}$,$\forall \varepsilon>0$,总是$\exists$正整数$N$,当$n>N$时，有$|x_n-a|< \varepsilon$,那么就称常数$a$是数列${x_n}$的极限，或者称数列${x_n}$收敛于$a$.记为$\lim_{n\rightarrow+\infty}{x_n}=a$

收敛数列->有极限的数列的性质

1. 收敛数列必有极限，且极限唯一；
2. 收敛数列一定有界；
3. 有界数列不一定收敛$（例{（-1）^n}）$,单调且有界的数列一定收敛，即单调有界数列必有极限。

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夹逼准则 *

对于三个数列${y_n}、{x_n}、{z_n}$，如果满足以下两个条件:
1.从某项起，有$y_n<x_n<z_n$
2.$\lim_{n\rightarrow\infty}{y_n}=a，且\lim_{n\rightarrow\infty}{z_n}=a$，
则有：$\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}=a$
例题：
求极限：$\lim_{n\rightarrow\infty}{(\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+···+\frac{1}{n^2+n})}$.
解析：1.夹逼准则一般用于求$n$项和形式的数列的极限；
2.对$x_n$适当的放缩，找到$y_n$、$z_n$是关键；
3.一般方法：分子不变，分母都取最大的那一项即得到$y_n$，分母都取最小的那一项即得到$z_n$.
解：$y_n=(\frac{1}{n^2+n}+\frac{1}{n^2+n}+···+\frac{1}{n^2+n})=\frac{n}{n^2+n}=\frac{1}{n+1}$
$z_n=(\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+1}+···+\frac{1}{n^2+1})=\frac{n}{n^2+1}$
$\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n+1}}=0$
$\lim_{n\rightarrow\infty}z_n=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n^2+n}}=0$

求极限：$\lim_{n\rightarrow\infty}{(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+···+\frac{n}{n^2+n+n})}$.
解：$y_n=(\frac{1}{n^2+n+n}+\frac{2}{n^2+n+n}+···+\frac{n}{n^2+n+n})=\frac{\frac{1}{2}(n+1)}{n^2+n+n}=\frac{n^2+n}{2n^2+4n}$
$z_n=(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+1}+···+\frac{n}{n^2+n+1})=\frac{\frac{1}{2}n(n^2+1)}{n^2+n+1}=\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}}$
$\lim_{n\rightarrow\infty}{y_n}=\frac{n^2+n}{2n^2+4n}=\frac{1}{2}$
$\lim_{n\rightarrow\infty}{z_n}=\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}$

课后练习：
求极限：$\lim_{n\rightarrow\infty}{(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})}$
解：$y_n=(\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{n}+1}}$
$z_n=(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}})=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{n^2}+1}}$
$\lim_{n\rightarrow\infty}{y_n}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{n}+1}}=1$
$\lim_{n\rightarrow\infty}{z_n}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{n^2}+1}}=1$
即：极限为1

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函数

函数的极限$x\to\infty$
设函数$f(x)$在$|x|$大于某一正数时有定义，$\forall \varepsilon>0$，总是$\exists$正数$X$，当$|x|>X$时，有
$|f(x)-A|<\varepsilon$
那么就称常数$A$是函数$f(x)$当$x\to\infty$时的极限，记为
$\lim_{n\rightarrow\infty}f(x)=A$

对于函数$f(x）$在点$x_0$的某去心邻域内有定义$\forall \varepsilon >0$，总是$\exists$正数$\delta$，当$0<|x-x_0|<\delta$时，有
$|f(x)-A|<\varepsilon$
那么就称常数$A$是函数$f(x)$当$x \to x_0$时的极限，记为
$\lim_{x \to x_0} f(x)=A$
函数极限于数列极限的区别和联系：

1. 数列极限只有$n \to \infty$,而函数极限有$x \to \infty$和$x \to x_0$;
2. 数列极限可以称为收敛，而函数极限不提收敛的概念；
3. 函数极限$x \to \infty可分为x \to -\infty和x \to +\infty$，二者可以不相等；
4. 函数极限$x \to x_0可分为x \to x_0^-和x \to x_0^+$，称为左极限和右极限，二者也可以不相等；
5. 函数极限和数列极限都具有唯一性。

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例：$f(x)=\frac{1}{x}$
$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0$
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}=\infty$
例：$f(x)=e^x$
$\lim_{x \to \infty}{e^x}=\begin{cases} \lim_{x \to +\infty} {e^x}=+\infty\\\\ \lim_{x \to -\infty}{e^x}=0\end{cases}\to$不存在
$\lim_{x \to 0}{e^x}=\begin{cases} \lim_{x \to 0^+} {e^x}=1\\\\ \lim_{x \to 0^-}{e^x}=1\end{cases}\to1$
注意：

1. $\lim_{x \to -\infty}{f(x)=\lim_{x \to +\infty}{f(x)=A}}\to\lim_{x \to \infty}{f(x)=A}$，若有一方不等或者不存在都不行。
2. $\lim_{x \to x_0^-}{f(x)=\lim_{x \to x_0^+}{f(x)=A}}\to \lim_{x \to x_0}{f(x)=A}$，若有一方不等或者不存在都不行，即函数在某点处有极限的条件是左极限和右极限同时存在且相等。

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函数极限的四则运算

如果$\lim{f(x)=A}，\lim{g(x)=B}$，那么：

1. $\lim{\left [ f(x) \pm g(x) \right ] }=\lim{f(x)} \pm \lim{g(x)}=A \pm B$
2. $\lim{\left [ f(x) \cdot g(x) \right ] }=\lim{f(x)} \cdot \lim{g(x)}=A \cdot B$
3. 若又$B \ne 0，则有\lim{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim{f(x)}}{\lim{g(x)}}=\frac{A}{B}$
4. $\lim{\left [ c \cdot f(x) \right ] }=c \cdot \lim{f(x)}=c \cdot A(c为常数)$
5. $\lim{\left [ f(x) \right ]^n }=\left [ \lim{f(x)} \right ]^n=A^n(n是正整数)$ 说明：运算法则对于趋向于$x_0、x_0^+、x_0^-、\infty、+\infty、-\infty$都适用，但是二者趋向必须一致。

   复合函数极限运算法则

   设函数$y=f \left [ g(x) \right ]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)$复合而成，若有$\lim_{x \to x_0}{g(x)}=u_0，且\lim_{u \to u_0}{f(x)}=A$ 则有：$\lim_{x \to x_0}{f \left [ g(x) \right ] }=\lim_{u \to u_0}{f(x)}=A$

   因式分解消零因子法求极限*

   例：$\lim_{x \to 3}{\frac{x-3}{x^2-9}}$
   解：将$x \to 3$带入 $\frac{3-3}{9-9}=\frac{0}{0}$ $\because \frac{0}{0}$分母为0，即为未定式 $\therefore \lim_{x \to 3}{\frac{x-3}{x^2-9}}=\lim_{x \to 3}{\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}}=\frac{1}{x+3}=\frac{1}{6}$ 公式
   $x^n-1=(x-1)(1+x+x^2+ \cdots +x^{n-1})$
   $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+ \cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})$
   结论：当直接代入为$\frac{0}{0}$未定式时，化简带入

   根式有理化消零因子法求极限*

   例：求$\lim_{x \to 3}{\frac{\sqrt{1-x}-2 }{x-3}}$
   解：原式=
   直接带入分母为0未定式； $\therefore分子分母同乘\sqrt{1-x}+2$ 即$\lim_{x \to 3}{\frac{(\sqrt{1-x}-2)(\sqrt{1-x}+2) }{(x-3)(\sqrt{1-x}+2)}}$ $=\lim_{x \to 3}{\frac{1+x-4}{(x-3)(\sqrt{1-x}+2)}}$ $=\lim_{x \to 3}{\frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{1-x}+2)}}$ $=\lim_{x \to 3}{\frac{1}{\sqrt{1-x}+2}}$ $=\frac{1}{4}$

   抓大头法求极限*

   例：求$\lim_{x \to \infty} {\frac{2x+1}{x^2+3}}$
   解：原式=
   同除以$x^2$ $=\lim_{x \to \infty} {\frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x^2} }}$ $=\frac{0}{1}$ $=0$ 例：求$\lim_{x \to \infty} {\frac{2x^3+x}{x^2+3}}$
   解：原式=
   同除以$x^3$ $=\lim_{x \to \infty} {\frac{2+\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}+\frac{3}{x^3} }}$ $=\frac{2+0}{0+0}$ $=\infty$ 结论：当直接带入为$\frac{\infty}{\infty}$时，使用抓大头方法，最高次幂在分子上结果为$\infty$，最高次幂在分母上结果为$0$（上大无穷下大零）；分子分母最大次幂相同的话结果为系数比（次数相同系数比）。

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课后习题

1. 求极限$\lim_{x \to 2}{\frac{x^2-x-2}{x^2-5x+6}}$
   解：原式=
   转换表达式
   即$=\lim_{x \to 2}{\frac{x^2-x-2}{x^2-2x-3x+6}}$

   $=\lim_{x \to 2}{\frac{x^2+x-2x-2}{x^2-2x-3x+6}}$ $=\lim_{x \to 2}{\frac{x(x+1)-2(x+1)}{x(x-2)-3(x-2)}}$

   分子提取公因式$(x+1)，分母提取公因式(x-2)$

   $=\lim_{x \to 2}{\frac{(x+1)(x-2)}{(x-2)(x-3)}}$ $=\lim_{x \to 2}{\frac{x+1}{x-3}}$ $=\lim_{x \to 2}{\frac{3}{-1}}$ $=-3$

2. 求极限$\lim_{x \to 1}{\frac{x^4-1}{x^5-1}}$
   解：原式=
   1.$=\lim_{x \to 1} {\frac{(x-1)(x^3+x^2+x+1)}{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)} }$

   $=\frac{4}{5}$

   2.使用洛必达法则

   $=\lim_{x \to 1}{\frac{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (x^4-1)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} (x^5-1)}}$ $=\lim_{x \to 1}{\frac{4x^3}{5x^4}}$ $=\lim_{x \to 1}{\frac{4}{5x}}$ $=\frac{4}{5}$

3. 求极限$\lim_{x \to 3}{\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{5} }{x-3}}$
   解：原式=
   分子分母同乘以$\sqrt{x+2}+\sqrt{5}$

   $=\frac{x+2-5}{(x-3)(\sqrt{x+2}+\sqrt{5})}$ $=\frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+2}+\sqrt{5})}$ $=\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{5}}$ $=\frac{\sqrt{5}}{10}$
4. 求极限$\lim_{x \to \infty}{\frac{x^2-x-2}{x^2-5x+6}}$
   解：原式=
   直接使用抓大头，分子分母次幂相同结果为系数比 $\therefore =1$

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两个重要极限

第一重要极限

$\lim_{x \to 0} {\frac{\sin x}{x} }=1$

函数夹逼准则：
对于三个函数$g(x)、f(x)、h(x)$，如果满足以下两个条件：

1. $g(x)\le f(x) \le h(x)$;
2. $\lim{g(x)}=A，且\lim{h(x)}=A$; 则有：$\lim{f(x)}=A$ 例：$\lim_{x \to 0} {\frac{\sin x}{x^2} }$
   解：原式= $=\lim_{x \to 0} {\frac{\sin x}{x} \times \frac{1}{x} }$ $=\lim_{x \to 0} {\frac{\sin x}{x} } \times \lim_{x \to 0}{\frac{1}{x}}$ $=1 \times \infty$ $=\infty$ 例：$\lim_{x \to 0} {\frac{\tan x}{x} }$
   解：原式= $=\lim_{x \to 0} {\frac{\sin x}{x} \times \frac{1}{\cos x} }$ $=\lim_{x \to 0} {\frac{\sin x}{x} } \times \lim_{x \to 0}{\frac{1}{\cos x}}$ $=1 \times 1$ $=1$ 例：$\lim_{x \to 0} {\frac{\arcsin x}{x} }$
   解：原式=
   令$x=\sin t$ $\arcsin x=t$ $=\lim_{t \to 0} {\frac{t}{\sin t}}$ $=1$ 结论：$\frac{0}{0}极限趋近于0且含有\sin x$,将原式拆解为第一重要极限和另一个能直接带入求极限的乘积。

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第二重要极限

$\lim_{x \to \infty} ({1+\frac{1}{x})^2 }=e$

例：求极限$\lim_{x \to 0} ({1+x)^\frac{1}{x} }$
令$x=\frac{1}{t}$
$=\lim_{t \to \infty} ({1+\frac{1}{t})^t }$
$=e$
第二重要极限变式：
$\lim_{x \to 0} ({1+x)^\frac{1}{x} }=e$
第二重要极限通式：
$\lim_{f(x) \to 0 \ g(x) \to \infty }[1+f(x)]^{g(x)}=e^{\lim [f(x)\cdot g(x)]}$
例：求极限$\lim_{x \to 0} {(1-6x)^{\frac{3}{\sin x} }}$
解：原式=
$=e^{\lim_{x \to 0} {(-6x\cdot \frac{3}{\sin x}) }}$
$=e^{\lim_{x \to 0} {(\frac{-18x}{\sin x}) }}$
$\because \frac{x}{\sin x}=1$
$\therefore =e^{-18}$
结论：$1^\infty$使用第二重要极限通式。

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无穷小与无穷大

概念

$如果\lim_{x \to x_0\setminus x \to \infty}{f(x)}=0，则称函数f(x)为当x \to x_0或x \to \infty时无穷小；$ $如果\lim_{x \to x_0\setminus x \to \infty}{f(x)}=\infty，则称函数f(x)为当x \to x_0或x \to \infty时无穷大；$

无穷小与无穷大都是一个函数，不能与很小的数或者很大的数混为一谈，无穷小是一个趋近于0（可以为0）的过程。

无穷小的性质

1. 在自变量的同一变化过程$x \to x_0$或$x \to \infty$中，函数$f(x)$具有极限$A$的充分必要条件是$f(x)=A+\alpha$,其中$\alpha$是无穷小。
2. $\frac{1}{无穷小}=无穷大$，$\frac{1}{无穷大}=无穷小$。
3. 有限个无穷小的和是无穷小。
4. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
   例如：$\lim_{x \to \infty}{\frac{\sin x}{x} }= \lim_{x \to \infty} {\sin x}\cdot \lim_{x \to \infty} {\frac{1}{x} } =0$
   易错点
   1. $\lim_{x \to 0} {\frac{\sin x}{x} }=1$(第一重要极限)
   2. $\lim_{x \to \infty } {\frac{\sin x}{x} }=0$(0×有界=0)
   3. $\lim_{x \to 0 } {x \cdot \sin \frac{1}{x} }=0$(0×有界=0)
   4. $\lim_{x \to \infty } {x \cdot \sin \frac{1}{x} }=1$(第一重要极限)
   5. $\lim_{x \to 0 } {\frac{1}{x} \cdot \sin \frac{1}{x} }=无极限$($\infty$×有界=不确定)
   6. $\lim_{x \to \infty } {\frac{1}{x} \cdot \sin \frac{1}{x} }=0$(0×0=0)
      推论：

• 常数与无穷小的乘积是无穷小；
• 有限个无穷小的乘积是无穷小。
  结论：$0 \cdot 有界 = 0$

  无穷小的比较

  定义：设$\alpha$和$\beta$是同一个自变量趋近过程中的无穷小，且$\beta \ne 0$，
  $\lim \frac{\alpha }{\beta } =0$$\Rightarrow$$\alpha$是$\beta$ 的高阶无穷小，可记作$\alpha=o(\beta )$；
  $\lim \frac{\alpha }{\beta } =\infty$$\Rightarrow$$\alpha$是$\beta$ 的低阶无穷小；
  $\lim \frac{\alpha }{\beta } =c \ne 0$$\Rightarrow$$\alpha$是$\beta$ 的同阶无穷小；
  $\lim \frac{\alpha }{\beta ^k} =c \ne 0$$\Rightarrow$$\alpha$是$\beta$ 的$k$阶无穷小$(k>0 )$；
  $\lim \frac{\alpha }{\beta } =1$$\Rightarrow$$\alpha$是$\beta$ 的等价无穷小，记作$\alpha \sim \beta$；
  注意：
• 一般为分子是分母的~阶无穷小；
• 越高阶趋近于0的速度越快；
• c可以是正数可以为负数，k可以是整数也可以是分数。

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等价无穷小的性质

1. 自反性：$\alpha \sim \alpha$；
2. 对称性：若$\alpha \sim \beta$，则$\beta \sim \alpha$；
3. 传递性：若$\alpha \sim \beta$，$\beta \sim \gamma$，则$\alpha \sim \gamma$；
4. 可替换性：若$\alpha \sim \gamma$，$\beta \sim \theta$，则$\lim \frac{\alpha }{\beta } =\lim \frac{\gamma }{\theta}$。
   结论：$\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$、$0 \cdot \infty$类型时使用等价无穷小替换。

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常用的等价无穷小替换*

当 $x\longrightarrow 0$时，有：

1. $x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x$
2. $1-\cos x\sim \frac{1}{2} x^2$
3. $ln(1+x)x\sim x$
4. $e^x-1 \sim x$
5. $(1+x)^\mu-1 \sim \mu \cdot x$ $\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{1}{n} \cdot x$
   提示：可以将上述x替换成任意$\Box$
   二倍角公式：$\cos 2 \alpha =\cos ^2\alpha - \ sin ^2 \alpha = 2\cos ^2 \alpha -1 = 1-2\sin ^2 \alpha$

   利用等价无穷小替换求极限

   例：求极限$\lim_{x \to 0} \frac{ln \cos x}{x \tan [\sin (\sin x)]}$
   解：原式=$\lim_{x \to 0 }{\frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2}}=-\frac{1}{2}$
   分子：$ln \cos x = ln(\cos x -1 +1) \sim - \frac{1}{2}x^2$
   分母：$\sin x \sim x \sim \tan x =x^2$

   总结+习题

   
   
   
   例题1：$\lim_{x \to \infty} (\sin \frac{3}{x} +1)^{2x}$
   解：原式=
   利用第二重要极限 $=e^{\lim_{x \to \infty} (\sin \frac{3}{x} \cdot 2x)}$ 利用等价无穷小替换 $\sin \frac{3}{x} \sim \frac{3}{x}$ $=e^{\lim_{x \to \infty} (\frac{3}{x} \cdot 2x)}$ $=e^6$ 例题2：$\lim_{x \to \infty} (\frac{3x+1}{3x-1} )^{2x+3}$
   解：原式= $\frac{3x+1}{3x-1}=\frac{3x-1+2}{3x-1}=1+\frac{2}{3x-1}$ 利用第二重要极限 $=e^{\lim_{x \to \infty} [\frac{2}{3x-1} \cdot (2x+3)]}$ $=e^{\lim_{x \to \infty} (\frac{4x+6}{3x-1})}$ 抓大头 $=e^{\frac{4}{3}}$ 例题3：$\lim_{x \to \infty} (x \sin \frac{1}{x}+\frac{1}{x} \sin x )$
   解：原式= $=\lim_{x \to \infty} x \cdot \sin \frac{1}{x}+\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\sin x$ $=1+0=1$ 例题4：设$\lim_{x \to \infty} (\frac{x-1}{2x^2+5}+ax+b )=3$，求常数a，b;
   解：原式= $=\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{2x^2+5}+\lim_{x \to \infty} ax+\lim_{x \to \infty} b=3$ $=0+\left\{\begin{matrix}a\ne 0\Rightarrow \infty \\ a=0\Rightarrow 0 \end{matrix}\right.+b=3$ $\Rightarrow a=0$符合条件 $\therefore b=3$ 例题5：设$\lim_{x \to \infty} (\frac{2x^2+5}{x-1}+ax+b )=3$，求常数a，b;
   解：原式= $=\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+5+ax^2-ax}{x-1}+b=3$ 使用抓大头方法
   即使分子消掉$x^2$
   即$a=-2$ $=\lim_{x \to \infty}\frac{2x+5}{x-1}+b=3$ 使用抓大头方法 $=2+b=3$ $\therefore b=1$ 例题6：已知$\lim_{x \to 1}f(x)$存在，且$f(x)=2x^3+3 \lim_{x\to 1}f(x)$，求$f(x)$。
   解：设$\lim_{x \to 1}f(x)=A$
   即$\lim_{x \to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}2x^3+3A$ $\because \lim_{x\to 1}f(x)=A$ $\therefore A=2+3A$ $\therefore A=-1$ $\therefore f(x)=2x^3-3$ 例题7：已知$\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+\frac{f(x)}{x})}{e^{2x}-1}=5$，且当$x \to 0$时，$\frac{f(x)}{x}$，求$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$。
   解：原式=
   利用无穷小等价替换 $=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{f(x)}{x}}{2x}$ 即$=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{2x^2}$ $\because \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{2x^2}=5$ $\therefore f(x)\sim10x^2$ $\therefore\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}=\frac{10x^2}{x^2}=10$

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连续

函数的连续性

连续的概念

设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果$\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$，那么就称函数$f(x)$在点$x_0$连续。
或表述为：如果$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y=\lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$，那么就称函数$f(x)$在点$x_0$连续。
如果在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。

1. 左连续的概念：
   如果$\lim_{x \to x_0^-}f(x)$存在且等于$f(x_0)$，那么就称函数$f(x)$在点$x_0$左连续，其左极限可简记为$f(x_0^-)$.
   
2. 右连续的概念：
   如果$\lim_{x \to x_0^+}f(x)$存在且等于$f(x_0)$，那么就称函数$f(x)$在点$x_0$右连续，其右极限可简记为$f(x_0^+)$.
   
3. 函数$f(x)$在点$x_0$处连续的充分必要条件为：$f(x_0^-)=f(x_0^+)=f(x_0)$

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间断点

如果函数$f(x)$在点$x_0$处不连续，那么点$x_0$就称为函数$f(x)$的间断点。
函数不连续有三种情形：

1. 在$x=x_0$处没有定义；
   
   
2. 虽有定义，但$\lim_{x \to x_0}f(x)$不存在 ；
   
   
3. 虽有定义，且$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在，但$\lim_{x \to x_0}f(x) \ne f(x_0)$ ；
   

   间断点-间断点分类

   如果$x_0$是函数$f(x)$的间断点，但左极限$f(x_0^-)$和右极限$f(x_0^+)$都存在，那么$x_0$称为函数$f(x)$的第一类间断点；
   表示第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。
   
4. 第一类：可去间断点
   如果左极限和右极限都存在，且$f(x_0^-)=f(x_0^+)$，那么称$x_0$为函数$f(x)$的可去间断点。
   例如：函数$y=\frac{x^2-1}{x-1}，x=1$是可取间断点
   
   函数$y=\left\{\begin{matrix}x,x\ne 1 \\ \frac{1}{2},x=1 \end{matrix}\right.,x=1$是可去间断点
   
5. 第一类：跳跃间断点
   如果左极限$f(x_0^-)$和右极限$f(x_0^+)$都存在，且$f(x_0^-)\ne f(x_0^+)$，那么称$x_0$为函数$f(x)$的跳跃间断点。
   例如：函数$y=\left\{\begin{matrix}x-1,x<0 \\0,x=0 \\x+1,x>0 \end{matrix}\right.,x=0$是跳跃间断点
   
6. 第二类：无穷间断点
   如果左极限$f(x_0^-)$和右极限$f(x_0^+)$至少有一个不存在，且其中至少有一个是$\infty$，那么称$x_0$为函数$f(x)$的无穷间断点。
   例如：函数$y=\tan x,x=\frac{\pi}{2}$是该函数的无穷间断点
   
7. 第二类：振荡间断点
   如果左极限$f(x_0^-)$和右极限$f(x_0^+)$至少有一个不存在，且其中至少有一个是振荡，那么称$x_0$为函数$f(x)$的振荡间断点。
   例如：函数$y=\sin \frac{1}{x},x=0$是该函数的振荡间断点
   
   注意：间断点类型与该点的函数值无关

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初等函数的连续性

1. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
2. 若两个函数都连续，则它们的和、差、积、商都连续。
3. 若两个函数都连续，则由它们构成的复合函数也连续。
4. 若一个函数连续且有反函数，则它的反函数也连续。

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闭区间上连续函数的性质

1. 【有界性与最大值最小值定理】在闭区间上连续的函数在该区间上有界，且一定能取得它的最大值和最小值。
   
2. 【零点定理】若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号（即$f(a)\cdot f(b)<0$），则至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi)=0$
   
3. 【介值定理】设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数$C$，在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使得$f(\xi)=C$。
   

   连续考点

   判断函数在某点的连续性

   例题：判断函数$f(x)=\left\{\begin{matrix}x+\frac{1}{2},x<0 \\ \frac{1}{2},x=0 \\ \frac{ln(1+x)}{2x},x>0 \end{matrix}\right.$，在点$x=0$处的连续性
   解：判断$f(x)$在点$x_0$处连续的充分必要条件为$f(x_0^-)=f(x_0^+)=f(x_0)$ $f(0^-)=\lim_{x \to 0^-}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ $f(0^+)=\lim_{x \to 0^+}\frac{ln(1+x)}{2x}=\lim_{x \to 0^+}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$ $\therefore f(0^-)=f(0^+)=f(0)=\frac{1}{2}$.
   $\therefore$函数是连续的

已知函数在某点连续求系数

例题：设函数$f(x)=\left\{\begin{matrix}x \sin \frac{1}{x},x<0 \\a+xx^2,x\ge 0\end{matrix}\right.$在点$x=0$处连续，则$a=$_0.
解：由$f(x_0^-)=f(x_0^+)=f(x_0)$
$f(0)=a+0^2=a$
$f(0^-)=\lim_{x \to 0^-}x \cdot \sin \frac{1}{x}$
带入$0^-$
$\sin \frac{1}{0^-}:\frac{1}{0^-}=-\infty$
即：有界，
$0^- \cdot 有界 = 0$
$\therefore a=0$
$\frac{1}{0^-}=-\infty$
$\frac{1}{0^+}=+\infty$

判断间断点个数

例题：函数$f(x)=\frac{\sin x}{x}+\frac{1}{x-1}e^{\frac{1}{x} }$的间断点个数是( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
解题：找出不满足定义域的点即为间断点，一般为使分母为0时$x$的取值
解：题中有三个分数，$\frac{\sin x}{x}$、$\frac{1}{x-1}$、$\frac{1}{x}$
即$x\ne0$和$x-1\ne0$
$\therefore x\ne0或x\ne1$
即个数为2

判断间断点类型

例题：设函数$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{\cos x+1}{x},x\ne 0 \\0,x=0\end{matrix}\right.$则$x=0$是其( C )
A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.第二类间断点 D.连续点
解题：判断左右极限是否都存在（左极限\右极限分开求）
解：$f(0^-)=\frac{\cos x}{x}=\frac{1+1}{0^-}=-\infty$
$f(0^+)=+\infty$
$\therefore$两个都为无穷，即为无穷间断点（第二类间断点）。

已知间断类型求系数

例题：已知点$x=1$为函数$f(x)=\frac{x-a}{x^2-4x+3}$的可去间断点，则$a=$( A ).
A.1 B.2 C.0 D.-1
解题：可去间断点$f(x_0^-)=f(x_0^+)$
解：$\lim_{x \to 1}\frac{x-a}{x^2-4x+3}$
将1带入
$\frac{\Box }{0} =A$
即$\frac{0}{0}=A$
$\therefore x-a=0，即1-a=0，a=1$

证明方程在某区间内至少有一个实根——零点定理

例题：证明方程$x^3+3x^2=1$在区间$(0,1)$内至少有一个实根。
解：有原式=
$x^3+3x^2-1=0$即$f(x)=x^3+3x^2-1$
$f(x)$在$[0,1]$上连续
$f(0)=0^3+3 \cdot 0^2-1=-1$
$f(1)=1^3+3 \cdot 1^2 -1=3$
$\because f(0)\cdot f(1)<0$
$\therefore$根据零点定理
至少有一点$\xi \in (0,1)$，使得$f(\xi)=0$
即方程$x^3+3x^2=1$在区间$(0,1)$内至少有一个实根。
例题：证明方程$e^x=3x$在区间$(0,1)$内至少有一个实根。
解：有原式=
$e^x-3x=0$即$f(x)=e^x-3x$
$f(x)$在$[0,1]$上显然连续
$f(0)=e^0+3 \cdot 0=1$
$f(1)=e-3<0$($e \approx 2.718$)
$\because f(0)\cdot f(1)<0$
$\therefore$根据零点定理
至少有一点$\xi \in (0,1)$，使得$f(\xi)=0$
即方程$e^x=3x$在区间$(0,1)$内至少有一个实根。

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课后习题