高等数学-微分

一元函数微分学

导数

导数的定义

设函数$y=f(x)$在点$x_0$在某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$（点$x_0+\Delta x$仍在该邻域内）时，相应的因变量$y$取得增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。
如果$\frac{\Delta y}{\Delta x}$当$\Delta x \to 0$时的极限存在，那么称函数$y=f(x)$在点$x_0$处求导，并称此极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作：
$f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x} }=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
也可记作$y'|_{x=x_{0'}},\frac{dy}{dx}|_{x=x_{0'}},\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}$
导数定义的几种等价形式：

1. $f'(x_0)=\lim_{\Delta \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
2. $f'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
3. $f'(x_0)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
   
   例题：
   若$f'(x_0)=1,f(x_0)=0$，则$\lim_{h \to \infty} hf(x_0-\frac{1}{h})$=__-1__.
   解：令$\Delta x=\frac{1}{h}$
   原式=$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=-f'(x_0)=-1$

   导函数的定义

   

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结论

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导数的定义

函数$f(x)$在某点$x_0$的导数：

• 定义式：$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =f'(x_0)$;
  引入：$x-x_0=\Delta x$
• 增量式：$\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} }=f'(x_0)$ ;
  注意：
  1. $\Delta x$可以换成其余字母；
  2. 整体思想：$\Delta x \to \Box$;
  3. $\Delta x \to 0$，谁趋于0 ，谁就是$\Delta x$;
• 引申公式：$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+a\Delta x)-f(x_0+b\Delta x)}{c \Delta x}=\frac{a-b}{c}\cdot f'(x_0)$
  No face：f不要，直接作差，谁消失了乘上谁的导数；$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+a\Delta x)-f(x_0+b\Delta x)}{c \Delta x}$=$\frac{(x_0+a \Delta x )-(x_0+b \Delta x)}{c \Delta x}=\frac{(a-b)\Delta x}{c\Delta x}\cdot f'(x_0)$ 例题：
  • 已知$f(x)$在$x=x_0$可导，则$\lim_{h \to 0}]\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=$$f'(x_0)$_;
    解：原式=$h \to 0;\therefore h=\Delta x$
    =$\lim_{\Delta x \to 0}]\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0)$
    • 设$f(x)$在$x=a$处可导，则$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a-\Delta x)}{\Delta x}=$$2f'(a)$__;
      解：原式=$\frac{1-(-1)}{1} \cdot f(a)=2f'(a)$
      No face： $\frac{(a+\Delta x)-(a-\Delta x)}{\Delta x}\cdot f'(a)=\frac{2\Delta x}{\Delta x}=2f'(a)$
    • 设$f'(0)=a$，则$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(-\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=$_$-a$__;
      解：原式=$\frac{-\Delta x-0}{\Delta x} \cdot f'(0)=-f'(0)=-a$
    • 设$f'(x_0)=-1$，则$\lim_{x \to 0}\frac{x}{f(x_0-2x)-f(x_0-x)}=$ 1;
      解：原式=$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x}{f(x_0-2\Delta x)-f(x_0-\Delta x)}$
      =$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\frac{f(x_0-2\Delta x)-f(x_0-\Delta x)}{\Delta x}}$
      =$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\frac{-2-(-1)}{1}\cdot f'(x_0)}=1$

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导数定义，求函数$f(x)$在某点的导数

特点：此时的$f(x)$为复杂的多项式，乘积形式；

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已知$f(x)$某点导数，求相关极限

解法：根据导数定义，凑出相关极限
例题：
设$f(x)$在$R$上连续，且$f(0)=0$,$f'(0)=2$求$\lim_{x \to 0}\frac{f(e^x-1)}{x}$
解：原式= $\because f(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=2$
$\therefore \lim_{x \to 0} \frac{f(e^x)-1}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{f(e^x)-f(0)}{(e^x-1)-0} \cdot \frac{e^x-1}{x}=\lim_{x \to 0} 2\cdot \frac{e^x-1}{x}=2$
已知$f(x)$在$x=0$处连续，且$f(0)=0$，$f'(0)=2$，求$\lim_{x \to 0}\frac{f()1-\cos x}{\tan x^2}$
解：原式=$\because \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=2$
$\therefore \lim_{x \to 0} \frac{f(1-\cos x)}{\tan x^2}=\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} =\lim_{x \to 0} \frac{f(1-\cos x) }{x-\cos x } \cdot \frac{1-\cos x}{x^2} =\lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\frac{1}{2}x^2 }{x^2} =1$

已知函数极限，求相关导数

已知$f(x)$在$x=a$处连续，且$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{x-a}=2$，求$f'(a)$及$f(a)$.
解：原式=$\because \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x-a} =2$
极限存在，分子趋于0，分母趋于0
$\therefore \lim_{x \to 0} f(x)=f(a)=0$
又$f'(a)=\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x-a}=2$

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左导数与右导数

左、右导数定义

左导数和右导数统称单侧函数
$f_-'(x)=\lim_{x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$（左导数）
$f_+'(x)=\lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$（右导数）

1. 函数在某点$x_0$的可导条件：$f_-'(x_0)=f_+'(x_0)$;（左导=右导）。
2. 可导的必要条件：可导函数必连续；

题型：

1. 告知$f(x)$可导，求参数。
2. 可导$\to$连续$\to$极限；
   例题：
   设$f(x)=\left\{\begin{matrix}e^x.x>0 \\ \sin ax+b.x\le 0 \end{matrix}\right.$ ，在$x=0$可导，求$a,b$
   解：$\because f(x)$在$x=0$可导，则$f(x)$在$x=0$处连续$x=o,f(0)=b$ $\lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^-}(\sin ax+b)=b$ $\lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+}e^x =1$$\to$$b=1$ 2.又$f_-'(0)=f_+'(0)$
   即：$f_-'(0)=\lim_{x \to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0^-}\frac{\sin ax+1-1}{x}=a$$f_+'(0)=\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0^+}\frac{e^x-1}{x}=1$$\to$$a=1$ 综上：$a=1,b=1$
   例题：
   若$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{ln(1+x^2)}{x},x>0 \\ ax+b, x\le 0 \end{matrix}\right.$在$x=0$可导，求$a,b$
   解：1.$\because f(x)$在$x=0$可导，则$f(x)$在$x=0$处连续$x=0,f(0)=b$ $\lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^-}(\sin ax+b)=b$ $\lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+}\frac{ln(1+x^2)}{x} =\lim_{x \to 0^+}\frac{x^2}{x}=\lim_{x \to 0^+}x=0$$\to$$b=0$ 2.又$f_-'(0)=f_+'(0)$
   即：$f_-'(0)=\lim_{x \to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0^-}\frac{\sin ax}{x}=a$$f_+'(0)=\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0^+}\frac{ln(1+x^2)}{x^2}=\lim_{x \to 0^+}\frac{x^2}{x^2}=1$$\to$$a=1$ 综上：$a=1,b=0$

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可导与连续的关系

基本导数公式和四则运算求导法则

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函数的求导方法

1.复合函数求导
求导法则：外层求导，再乘以内层求导。
例题：
设$y=ln \cos x， 求y'$。
解：原式=$y'=\frac{1}{\cos x}\cdot (- \sin x)$
=$- \tan x$
若函数$f(x)$可导，求函数$y=f(\frac{1}{x^3})$的导数。
解：原式=$f'(\frac{1}{x^3}) \cdot (-3 \frac{1}{x^4})$
=$\frac{-3f'(\frac{1}{x^3})}{x^4}$
2.分段函数求导
求导方法：分段点两边分别求，中间分段点单独求
中间分段函数求导：
1.用导数的定义式求
2.导入左边导数得“左导数”，带入右边导数得“右导数”，若二者相等且分段函数连续，则值为分段点的导数值，若导数不相等或分段函数连续，则分段点导数值不存在；
3.隐函数求导
求导方法：方程两边分别求导，注意方程中$y是x$的复合函数
例题1：求由方程$e^y+xy-e=0$所确定的隐函数的导数$y'$。
解：原式=$y=f(x)$
=$e^yy'+y+xy'-0=0$
=$y'=\frac{-y}{e^y+x}$
例题2：求由方程$3xy+lny=1$所确定的隐函数在$x=0$处的导数$\frac{dy}{dx}|_{x=0}$.
解：原式=$3y+3x \cdot y'+\frac{y'}{y}=0$
=$y'=\frac{-3y}{3x+\frac{1}{y}}=\frac{-3y^2}{3xy+1}$
当$x=0时，y=e$
=$\frac{dy}{dx}|_{x=0}=\frac{-3e^2}{0+1}=-3e^2$
例题3： 设$y=f(x)$是由方程$\arcsin y=e^x$确定的函数，求$y'$.
解：原式=$\arcsin x= \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }$
=$\frac{1}{ \sqrt{1-y^2} } y'=e^x$
=$y'=e^x\sqrt{1-y^2}$
4.由参数方程确定的函数求导
求导方法：y对t的导数除以x对t的导数

例题1：设函数$y=y(x)$由参数发方程
$\left\{\begin{matrix}x=3t^2-1 \\ y=e^{2t}+1 \end{matrix}\right.$确定，求$\frac{dy}{dx}$
解：原式=$\frac{dy}{dt}=2e^{2t}$
=$\frac{dx}{dt}=6t$
=$\frac{dy}{dx}=\frac{2e^{2t} }{6t}=\frac{ e^{2t} }{3t}$
例题2：已知参数方程 $\left\{\begin{matrix} x=t-\frac{1}{t} \\ y=\frac{1}{2}t^2+lnt \end{matrix}\right.$,求$\frac{dy}{dx}|_{t=1}$。
解：原式=$\frac{dy}{dt}=t+\frac{1}{t}$
=$\frac{dx}{dt}=1+\frac{1}{t^2}$
=$\frac{dy}{dx}=\frac{t+\frac{1}{t} }{1+\frac{1}{t^2} }$
=t=1
5.幂指函数求导
求导方法：对数求导法
例题1：求$y=x^x(x>0)$的导数。
解：原式=$lny=lnx^x=xlnx$
隐函数求导
=$\frac{y'}{y}=lnx+x \cdot \frac{1}{x}$
=$y'=y(lnx+1)$
=$x^x(lnx+1)$
例题2：求$y=x^{\sin x}(x>0)$的导数。
解：原式=$lny=\sin x \cdot lnx$
=$\frac{y'}{y}=\cos x \cdot lnx+\sin x \cdot \frac{1}{x}$
=$y'=x^{\sin x}(\cos x \cdot lnx+\frac{\sin x}{x})$
例题3：求$y=(1+2x)^{\cos x}(x>-\frac{1}{2})$的导数。
解：原式=$lny=\cos x \cdot ln(1+2x)$
=$\frac{y'}{y}=-\sin x \cdot ln(1+2x)+\cos x \cdot \frac{2}{1+2x}$
=$y'=(1+2x)^{\cos x}(\frac{2 \cdot \cos x}{1+2x}-\sin x \cdot ln(1+2x) )$
6.多因子积商乘方构成的函数求导
求导方法：对数求导法*

例题1：求$\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} }$的导数。
解：原式=$lny=ln(\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} )^\frac{1}{2}=\frac{1}{2} ln\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}$
=$\frac{1}{2}(ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4) )$
=$2\frac{y'}{y}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}$
=$y'=\frac{y}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4})$

例题2

7.课堂总结

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高阶导数

1.定义
对函数$y=f(x)$求导得到的$y'$称为一阶导数；对$y'$继续求导得到二阶导数$y''$……;
从四阶导数开始，写法为$y^{(4)}$;
对$y^{(n-1)}$求导得到n阶导数$y^{(n)}$,或记作$f^{(n)}(x),\frac{d^ny}{dx^n},\frac{d^nf(x)}{dx^n}$;二阶及其以上统称高阶导数。
2.求高阶导数的方法
(1).求二阶导数
一阶导数——>二阶导数
例题1：求函数$y=2x^4-x^2+e^x$的三阶导数。
解：原式=$y'=8x^3-2x+e^x$
=$y''=24x^2-2+e^x$
=$y'''=48x+e^x$
例题2：求函数$y=ln(\sin x)$的二阶导数。
解原式$=\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x=\cot x =y''=-\csc^2x$
例题3：求函数$x^2+y^2=1$的二阶导数。
解原式$=2x+2y \cdot y'=0 =y'=-\frac{x}{y} =y''=-\frac{y-y'x}{y^2}=-\frac{y+\frac{x}{y} \cdot x }{y^2} =-\frac{1}{y^3}$
(2).求三阶以上的导数
使用常用的高阶求导公式

常用高阶求导公式

例题4：设函数$y=x^{2000}+e^x+\cos x$，则$y^{(2025)}=e^x-\sin x$
(3).由参数方程确定的函数二阶导数

求导方法

例题5：求函数$y=y(x)$由参数方程$\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}t^2-1 \\ y=x^t+1 \end{matrix}\right.$确定，求$\frac{d^2y}{dx^2}$。
解:原式$=\frac{dy}{dt}=e^t =\frac{dx}{dt}=t =\frac{dy}{dx}=\frac{e^t}{t} =\frac{dy'}{dt}=(\frac{e^t}{t})'=\frac{e^t \cdot t-e^t}{t^2} =\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{e^t \cdot t-e^t}{t^3}$
例题6：已知函数方程$\left\{\begin{matrix} x=t-\frac{1}{t} \\ y=\frac{1}{2}t^2+lnt \end{matrix}\right.$，求$\frac{d^2y}{dx^2}$。
解:原式$=\frac{dy}{dt}=t+\frac{1}{t} =\frac{dx}{dt}=1+\frac{1}{t^2} =y'=\frac{dy}{dx}=\frac{t+\frac{1}{t} }{1+\frac{1}{t^2} }=t =\frac{dy'}{dt}=1 =\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{t^2}{t^2+1}$

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导数的习题

1. 设$f'(x_0)$存在，则$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0-\frac{1}{2}\Delta x )-f(x_0)}{-\Delta x}=-\frac{1}{2} {\div} -1=\frac{1}{2}f'(x_0)$
2. 求函数$y=f(\cos 2x)$的导数。
   解：原式=$y'=f'(\cos 2x) \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 =-2 \sin 2x f'(\cos 2x)$
3. 求函数$y=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} }{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} }$的导数。
   解：原式=$y=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} )^2}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} ) } =\frac{2x-2\sqrt{x^2-1} }{2}=x-\sqrt{x^2-1} =y'=1-\frac{1}{2}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x =1-\frac{x}{\sqrt{x^2-1} }$
4. 求由方程$xy=e^{x+y}$确定的隐函数的导数。
   解：原式=$y+xy'=e^{x+y}(1+y') =y+xy'=e^{x+y}+e^{x+y}y' =y'=\frac{e^{x+y}-y}{x-e^{x+y} }$
5. 已知$\left\{\begin{matrix} x=e^t \sin t \\ y=e^t \cos t \end{matrix}\right.$，求当$t=\frac{\pi}{3}时\frac{dy}{dx}的值$ 。
   解：原式=$\frac{dy}{dt}=(\cos t-\sin t)e^t =\frac{dx}{dt}=e^t(\cos t+\sin t) =\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t} =\frac{dy}{dx}|_{t=\frac{\pi}{3}}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3} }{2} }{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3} }{2} }=\sqrt{3}-2$

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微分

导数：$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx} \frac{函数的增量}{自变量增量}$代表斜率、变化率、即微商。
微分：$dy=f'(x)dx$ 代表函数的增量（导数的乘积形式）。

证明

1. 微分的定义：如果函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$可以表示为$\Delta y=A \cdot \Delta x+o(\Delta x)$ 其中A是不依赖与$\Delta x$的常数，那么称函数$y=f(x)在点x_0$是可微的，而$A \cdot \Delta x$即为函数在该点的微分，记作： $dy=A \cdot \Delta x$ 或$dy=A \cdot \Delta x$(其中$dx$是自变量的微分) $函数可导\longleftarrow等价 \longrightarrow 函数可微$
2. 基本微分公式及微分运算法则
   

   

   基本公式

   
   

   

   运算法则

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微分中值定理

罗尔中值定理

如果函数$f(x)$满足以下条件 （缺一不可）：

1. 在闭区间$[a,b]$上连续；
2. 在开区间$(a,b)$上可导；
3. $f(a)=f(b)$； 则在开区间$(a,b)$上至少存在一点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$
   

   

   生活实例

   
   不要和零点定理搞混！！！
   例题1：下列函数在给定区间内满足罗尔中值定理的是（ ）。 $A、f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1,x<5 \\ 1, x\ge 5 \end{matrix}\right. [0,5]$ $B、f(x)=\sqrt[3]{(x-1)^2} [0,2]$ $C、f(x)= x^2-3x+2 [1,2]$ $D、f(x)=|x-1| [0,2]$ 解析：
   A:分段点x=5，带入，不连续。
   B:导函数定义域不能取值1，不可导。
   C:没有不满足定义域的点，连续；求导可导，左右导数相等0，满足条件。
   D:x=1,绝对值，连续不可导
   A、B、D不满足条件3，C满足条件1、2、3，故选C。
   例题2：证明方程 $3a_1x^2-2a_2x=a_1-a_2$在$(0,1)$上至少有一个实根。
   解析：证明方程在开区间内有实根。首先用零点定理，其次使用罗尔中值定理。
   证明：$f(x)=3a_1x^2-2a_2x-a_1+a_2$ $f(0)=-a_1+a_2$ $f(1)=2a_1-a_2$ 零点定理无用。 $f'(x)=3a_1x^2-2a_2x-a_1+a_2$ 反推： $f(x)=a_1x^3-a_2x^2-a_1x+a_2x$

   

   答案

   
   

   

   标准解题

   
   例题3-1：已知函数$f(x)$在$x \in R$范围内连续且可导，$f(a)=f(b)=0$，证明至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)+f(\xi)=0$
   解析：证明含有$f'(\xi)$的等式，使用罗尔中值定理。
   证明：构造函数$F(x)=f(x) \cdot e^x$
   显然$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导 $F(a)=0,F(b)=0$,且$F'(x)=f'(x)e^x+f(x)e^x$ 所以$F(x)$在$[a,b]$上满足罗尔中值定理的条件，故在$(a,b)$上至少存在一点$\xi$，使得$F'(\xi)=0$
   即$f'(\xi)e^{\xi}+f(\xi)e^{\xi}=0$，化简得$f'(\xi)+f(\xi)=0。$

例题3-2：已知函数$f(x)$在$x \in R$范围内连续且可导，$f(a)=f(b)=0$，证明至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)+2f(\xi)=0$
解析：$f'(x)\Box +2f(x)\Box =0$,$使用(uv)'=u'v+uv'$
$\therefore \Box =e^{2x}$
证明：构造函数$F(x)=f(x) \cdot e^{2x}$
显然$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导
$F(a)=0,F(b)=0$
且$F'(x)=f'(x)e^{2x}+2f(x)e^{2x }$
所以$F(x)$在$[a,b]$上满足罗尔中值定理的条件，故在$(a,b)$上至少存在一点$\xi$，使得$F'(\xi)=0$
即$f'(\xi)+2f(\xi)=0。$

例题3-3：已知函数$f(x)$在$x \in R$范围内连续且可导，$f(a)=f(b)=0$，证明至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)+2\xi f(\xi)=0$
解析：$f'(x)\Box +2xf(x)\Box =0$,$使用(uv)'=u'v+uv'$
$\therefore \Box =e^{x^2}$
证明：构造函数$F(x)=f(x) \cdot e^{x^2}$
显然$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导
$F(a)=0,F(b)=0$,且$F'(x)=f'(x)e^{x^2}+2f(x)e^{x^2}$
所以$F(x)$在$[a,b]$上满足罗尔中值定理的条件，
故在$(a,b)$上至少存在一点$\xi$，使得$F'(\xi)=0$
即$f'(\xi)+2\xi f(\xi)=0。$

例题3-4：已知函数$f(x)$在$x \in R$范围内连续且可导，$f(a)=f(b)=0$，证明至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$\frac{\xi}{n}f'(\xi)+f(\xi)=0，n$为正整数。
解析：$f'(x)\frac{x}{n} \Box +f(x)\Box =0$,$使用(uv)'=u'v+uv'$
$\therefore \Box =x^n$
证明：构造函数$F(x)=f(x) \cdot x^n$
显然$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导
$F(a)=0,F(b)=0$,且$F'(x)=f'(x) \cdot x^n+f(x) \cdot \frac{n}{x}\cdot x^n$
所以$F(x)$在$[a,b]$上满足罗尔中值定理的条件，
故在$(a,b)$上至少存在一点$\xi$，使得$F'(\xi)=0$
即$f'(\xi) \cdot \xi ^n+f(\xi) \cdot \frac{n}{\xi} \cdot \xi ^n=0。$，化简得$\frac{\xi }{n} f'(\xi)+f(\xi)=0。$
例题3总结

例题4-1：已知函数$f(x)$在$x \in R$范围内连续且可导，$f(a)=f(b)=0$，证明至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)-f(\xi)=0$。
解析：$f'(x) \Box -f(x)\Box =0$,$使用(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
$\therefore \Box =e^x$
证明：构造函数$F(x)=\frac{f(x)}{e^x}$
显然$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导
$F(a)=0,F(b)=0$,且$F'(x)=\frac{f'(x)\cdot e^x-f(x)\cdot e^x}{(e^x)^2}$
所以$F(x)$在$[a,b]$上满足罗尔中值定理的条件，
故在$(a,b)$上至少存在一点$\xi$，使得$F'(\xi)=0$
即$\frac{f'(\xi)\cdot e^\xi-f(\xi) \cdot e^\xi}{(e^\xi)^2}=0$，化简得$f'(\xi)-f(\xi)=0$。
例题4总结

例题：若$f(x)$在$[1,e]$连续，$(1,e)$可导，且$f(1)=0，f(e)=1$，证明：存在一点$\xi \in (1,e)$，使$\xi \cdot f'(\xi )=1$
证明：构造函数$F(x)=f(x) \cdot \ln x$
$F'(x)=f'(x)-\frac{1}{2}$
$F(1)=0,F(e)=1$
$F'(1)=f'(1)-\ln 1=0$
$F'(e)=f(e)-\ln e=0$
$f'(1)=f'(e)=0$
有罗尔中值定理，存在一点$\xi \in (1,e)$
$F'(\xi)=0$
即$f'(\xi)-\frac{1}{\xi}=0$
即$f'(\xi)=\frac{1}{\xi}$
即$\xi f'(\xi)=1$

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拉格朗日中值定理

如果函数$y=f(x)$满足以下条件(两端点函数差/两端点差)（缺一不可）：

1. 在闭区间$[a,b]$上连续；
2. 在开区间$(a,b)$上可导；
   则在开区间$(a,b)$上至少存在一点$\xi$，使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
   
   例题1：在下列区间上，函数$f(x)=e^x-3x^{\frac{1}{3} }$不满足拉格朗日中值定理的条件的是（ C ）。
   A.$[-1,0]$
   B.$[0,1]$
   C.$[-1,1]$
   D.$[1,e]$
   解析：闭区间内连续—>看$f(x)$的定义域，找间断点（定义域R，无间断点）；
   开区间内可导—>求$f'(x),看f'(x)$的定义域，找间断点。$f'(x)=e^x-\frac{1}{\sqrt[3]{x^2} }(x \ne 0)$ 只有C的开区间含0，所以选C。

例题2：函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2-x$在区间$[1,2]$上满足拉格朗日中值定理条件的$\xi=（ \frac{3}{2} ）$。
解：$f'(x)=x-1$
$f(1)=\frac{1}{2} \cdot 1^2-1=-\frac{1}{2}$
$f(2)=\frac{1}{2} \cdot 2^2-2=0$
$\therefore \frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{1}{2}$
$\therefore \xi=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

例题3-1：设$0<b<c$，求证$\frac{b-a}{1+b^2}<\arctan b-\arctan a<\frac{b-a}{1+a^2}$
证明：构造函数$f(x)=\arctan x$
显然$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导
所以$f(x)$在$[a,b]$上满足拉格朗日中值定理的条件，且在$(a,b)$内至少存在一点
$\xi$使得$f'(\xi)=\frac{\arctan b-\arctan a}{b-a}$
$f'(\xi)=\frac{1}{1+\xi^2},\arctan b-\arctan a=\frac{b-a}{1+\xi^2}$
因为$a<\xi<b$，所以$\frac{b-a}{1+b^2}<\frac{b-a}{1+\xi^2}<\frac{b-a}{1+a^2}$
所以$\frac{b-a}{1+b^2}<\arctan b-\arctan a<\frac{b-a}{1+a^2}$

例题3-2：设$x>0$，求证$\frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x$。
证明：构造函数$f(x)=ln(x)$
显然$f(x)$在$[1,1+x]$上连续，在$(1,1+x)$上可导
所以$f(x)$在$[1,1+x]$上满足拉格朗日中值定理的条件，且在$(1,1+x)$内至少存在一点
$\xi$，使得$f'(\xi)=\frac{ln(1+x)-ln1}{1+x-1}=\frac{ln(1+x)}{x}$
$f'(\xi)=\frac{1}{\xi}，ln(1+x)-ln1=x \cdot \frac{1}{\xi}=\frac{x}{\xi}$
因为$1<\xi<1+x$，所以$\frac{x}{1+x}<\frac{x}{\xi}<x$
所以$\frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x$

例题3-3：设$x \in (0,\frac{\pi}{2})$，求证$x<\tan x<\frac{x}{\cos ^2x}$
证明：构造函数$f(x)=\tan x$
显然$f(x)$在$[0,x]$上连续，在$(0,x)$上可导
所以$f(x)$在$[0,x]$上满足拉格朗日中值定理的条件，且在$(0,x)$内至少存在一点
$\xi$，使得$f'(\xi)=\frac{\tan x-\tan 0}{x-0}=\frac{\tan x}{x}$
$f'(\xi)=\frac{1}{\cos ^2\xi}，\tan x-\tan 0=x \cdot \frac{1}{\cos ^2\xi}=\frac{x}{\cos ^2\xi}$
因为$0<\xi<x$，所以$x<\frac{x}{\cos ^2\xi}<\frac{x}{\cos ^2x}$
所以$x<\tan x<\frac{x}{\cos ^2x}$

例题3总结：

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柯西中值定理

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洛必达法则

$\lim_{x \to x_0/x \to \infty }\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to x_0/x \to \infty }\frac{f'(x) } {g'(x)}$

两函数之商求极限等于两函数导数之商的极限。
使用洛必达法则的两个前提：

1. $f(x),g(x)$同时趋近于0或同时趋近于$\infty$极限为$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{ \infty }{ \infty }$ 的未定式；
2. $\lim_{x \to x_0/x \to \infty }\frac{f'(x)}{g'(x)}$存在或为$\infty$
   洛必达注意事项：
   同一道题中洛必达可以和等价无穷小可以交替使用，但是同一步骤中绝对不能混用
   不要盲目使用洛必达法则，能化简先化简。
   使用洛必达法则前，如果存在非0非无穷因子可先带入，可简化计算。（条件：整体的极限式子可看作是非0非无穷因子和，另外一个式子的乘积的形式，局部加减的非0非无穷式子不能先行带入！）
   如果洛必达之后极限不存在，那么洛必达法则失效，应采用其他方法计算。
   如果洛必达之后陷入了死循环，那么洛必达法则失效，应采用其他方法计算。

例题1：求$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^{100} }{e^x}$
解：原式=$\lim_{x \to +\infty}\frac{100x^{99} }{e^x} =\lim_{x \to +\infty}\frac{9900x^{98} }{e^x} =\lim_{x \to +\infty}\frac{980100x^{97} }{e^x} =\lim_{x \to +\infty}\frac{97029900x^{96} }{e^x} …… =\lim_{x \to +\infty}\frac{100!x^0}{e^x} =0$
例题2：求$\lim_{x \to 0}\frac{s-\sin x}{x^2 \sin x}$
解：原式$=\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin x}{x3} =\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{3x^2} =\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{6x} =\lim_{x \to 0}\frac{x}{6x} =\frac{1}{6}$


${\color{Red} x \to 0 时，(x-\sin x)~\frac{1}{6}x^3}$


例题3：求$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}$
解：原式$=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\cos ^2x}-1}{1-\cos x} =\lim_{x \to 0}\frac{1+\cos x}{\cos ^2x} =\lim_{x \to 0}\frac{1+1}{1} =2$


${\color{Red} x \to 0 时，(\tan x-x)~\frac{1}{3}x^3}$


例题4：求$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} }\frac{e^x \cdot \cos x}{\frac{\pi}{2}-x}$
使用非0非无穷因子先行带入
解：原式$=e^{\frac{\pi}{2} } \lim_{x \to \frac{\pi}{2} }\frac{\cos x}{\frac{\pi}{2}-x} =e^{\frac{\pi}{2} } \lim_{x \to \frac{\pi}{2} }\frac{-\sin x}{-1} =e^{\frac{\pi}{2} } \lim_{x \to \frac{\pi}{2} }\frac{-1}{-1} =e^{\frac{\pi}{2} }$
例题5：求$\lim_{x \to \infty}\frac{\sin x-x \cos x}{x^3 \cos x}$
解：原式$=\frac{1}{\cos 0} \cdot \lim_{x \to \infty}\frac{\sin x- x \cdot \cos x}{x^3} =1 \cdot \lim_{x \to \infty}\frac{\cos x- (\cos x -x \cdot \sin x) }{3x^2} =\lim_{x \to \infty}\frac{x \cdot \sin x}{3x^2} =\lim_{x \to \infty}\frac{\sin x}{3x} =\frac{1}{3}$


注意事项：洛完无极限，洛必达法则失效，应采用其他方法计算。
例题6：求$\lim_{x \to \infty}\frac{\sin x+x}{x}$
解：原式$=\lim_{x \to \infty}\frac{\sin x}{x}+1 =0+1 =1$


注意事项：洛完陷入死循环，洛必达法则失效，应采用其他方法计算。
例题7：求$\lim_{x \to \infty}\frac{e^x-e{-x} }{e^+e{-x} }$
解：原式$上下同除以e^x =\lim_{x \to \infty}\frac{1+\frac{1}{(e^x)^2} }{1-\frac{1}{(e^x)^2} } =\frac{1+0}{1-0} =1$

总结

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$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$ 型 $lim{\frac{f(x)}{g(x)}}=lim{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=lim{\frac{f''(x)}{g''(x)}}=……=A$

注意：

1. 分子分母各自同时求导；
2. 洛必达法则一般配合等价使用；
   ！！万事不对洛必达

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导数在研究函数中的应用

切线方程与法线方程

函数在某一点处的导数的几何意义即在该点处切线的斜率。
法线和切线垂直，如果两条直线垂直，那么斜率之积=-1。
确定直线方程：如果只给了一个点$(x_0,y_0)$，只要确定了斜率$k$，那么直线方程为（点斜式）$y-y_0=k(x-x_0)$
$k_切=f'(x_0), K_法=-\frac{1}{f'(x_0) }$
求切线方程和法线方程的解题步骤：
(1). 求$y_0$；
(2). 求$f'(x_0)$；
a. 先求$f'(x)$，再将$x_0$代入；
b. 用导数定义式直接求。
(3). 带入点斜式直线方程；
a. 切线方程$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$；
b. 法线方程$y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0) } (x-x_0)$；
例题1：求函数$f(x)=x^2-3x+1$在点$(1,-1)$处的切线方程和法线方程。
解：
$f'(x)=2x-3$
当$x=1$时，$f'(x)=2 \cdot 1-3=-1$
切线方程$y-(-1)=-1(x-1)$
$y=-x$
法线方程$y-(-1)=-\frac{1}{-1}(x-1)$
$y=x-2$
例题2：求函数$y=2e^x$在$x=0$处的切线方程和法线方程。
解：
如果题目只告诉了x，那这个x带入原方程求y
$y=2e^0=2$
$f'(x)=2e^x$
当$x=0$时，$f'(x_0)=2e^0=2$
切线方程$y-2=2(x-0)$
$y=2x+2$
法线方程$y-2=-\frac{1}{2}(x-0)$
$y=-\frac{1}{2}x+2$
例题3：若函数$f(x)=1-x^3$与函数$g(x)=lnx$在$y=a$处的切线互相垂直，则($a=\frac{1}{3}$)。
解：
$K_f \cdot K_g=-1$
$f'(a)=-3a^2$
$g'(a)=\frac{1}{a}$
$f'(a) \cdot g'(a)=-3a^2 \cdot \frac{1}{a}=-3a=-1$
$a=\frac{1}{3}$

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函数的单调性

导数	函数单调性
f’(x)>0	单调增加
f’(x)<0	单调减少

当$f'(x)=0$或$f'(x)$不存在时，单调性？
当$f'(x)=0$时称为驻点，驻点两侧单调性可能相同也可能不同；
当$f'(x)$不存在时，两侧单调性可能相同也可能不同。


求函数单调区间的步骤：
(1). 求函数$f(x)$的定义域，并得到间断点；
(2). 求导函数$f'(x)$；
(3). 求驻点和不可导点，用驻点，不可导点，间断点把定义域分成若干区间；
(4). 列表讨论每个区间内$f'(x)$的正负，写出单调区间；
例题1：求函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$的单调区间。
解：
函数的定义域为$(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$
间断点为$x=0$
$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}$
$f'(x)=0$时，$x=1$或$x=-1$以及不可导点$x=0$

	(-∞,-1)	-1	(-1,0)	0	(0,1)	1	(1,+∞)
f’(x)	+	0	-	×	-	0	+
f(x)	单增		单减		单减		单增

由上表可知，单增$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$；
单减$(-1,0)$和$(0,1)$；


利用单调性证明不等式：
解题步骤：
(1). 构造函数$F(x)=左边-右边$；
(2). 求导函数$F'(x)$，并判断正负；
(3). 根据$F'(x)$的正负判定$F(x)$的单调性；
(4). 解出区间端点函数值（通常为0），根据单调性即得$F(x)>0$或$F(x)<0$；
例题2：证明$x>0$时，$\ln (1+x)<x$。
证明：构造函数$F(x)=\ln (1+x)-x$
$F'(x)=\frac{1}{1+x}-1=\frac{1-(1+x)}{1+x}$
当$F'(x)>0$时，$F(x)<0$
$\therefore F(0)=0$在$[0,+\infty)$上单调减少。
$F(x)>0$时，$F(x)<F(0)=\ln (1+0)-0=0$
即$\ln (1+x)-x<0$
即$\ln (1+x)<x$
例题3：证明$x>\sin x$，$x\in (0,\pi)$。
证明：构造函数$F(x)=x-\sin x$
$F'(x)=1-\cos x$
当$x \in (0, \pi),F'(x)>0$
$\therefore F(x)$在$[0,\pi)$上单调增加。
当$x \in (0,\pi)$时，$F(x)>F(0)=0-\sin 0=0$
即$x-\sin x>0$
即$x>\sin x$

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函数曲线的凹凸性

图像的凹凸性

连续曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点。
凸区间上斜率逐渐减少—>$f(x)'$单调减少—>$f(x)''<0$
凹区间上曲线的斜率逐渐增加—>$f(x)'$单调增加—>$f(x)''>0$

二阶导数	凹凸性
$f''(x)>0$	凹
$f''(x)<0$	凸

不要和函数单调性搞混淆！！！
口诀：
一阶导，大增小减；
二阶导，大凹小凸；

求函数凹凸区间和拐点的步骤（对比单调区间四步骤）：
(1). 求函数$f(x)$的定义域，并得到间断点；
(2). 求导函数$f'(x)$；
(3). 求二阶导函数$f''(x)$；
(4). 求$f''(x)=0$的点和$f''(x)$不存在的点，用这个点把定义域分成若干区间；
(5). 列表讨论每个区间内$f''(x)$的正负，写出凹凸区间；
注意：拐点是曲线上的点，拐点两侧$f(x)''$必定异号

例题1：求函数$f(x)=x^4-2x^3+3$的凹凸区间和拐点。
解：定义域为$(-\infty,+\infty)$
$f'(x)=4x^3-6x^2$
$f''(x)=12x^2-12x$
$f''(x)=0$时，$x=0$或$x=1$

	(-∞,0)	0	(0,1)	1	(1,+∞)
f’‘(x)	+	0	-	0	+
曲线	凹		凸		凹

由上表可知，凹区间为$(-\infty,0)$和$(0,1)$；
凸区间为$(0,1)$和$(1,+\infty)$；
拐点：当$x=0$时，$f(0)=3$；
当$x=1$时，$f(1)=2$；
拐点为：$(0,3)$和$(1,2)$。
例题2：求函数$f(x)=\sqrt[3]{x}$的凹凸区间和拐点。
解：定义域为$[-\infty,+\infty)$
$f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3} }$
$f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3} }$
$f''(x)=0$时，$x=0$
令$f''(x)=0$，无解；
$f''(x)不存在的点为x=0$

	(-∞,0)	0	(0,+∞)
f’‘(x)	+	不存在	-
曲线	凹		凸

由上表可知，凹区间为$(-\infty,0)$；
凸区间为$(0,+\infty)$；
当$x=0$时，$f(0)=0$；
其拐点为$(0,0)$。

例题3：函数$f(x)=x^4$上的拐点有（D）。
A、1个 B、2个 C、3个 D、0个
解：$f'(x)=4x^3$
$f''(x)=12x^2$
$f''(x)=0$时，$x=0$

	(-∞,0)	0	(0,+∞)
f’‘(x)	+	不存在	+
曲线	凹		凹

由上表得：该函数无拐点。

例题4：函数$f(x)=\frac{1}{x}$的拐点有（D）。
A、1个 B、2个 C、3个 D、0个
解：$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
$f''(x)=\frac{2}{x^3}$
$f''(x)=0$时，不存在；
该函数无拐点。
注意：拐点一定是$f'(x)=0$或者$(x)''$不存在的点，。但$f(x)''$不存在的点不一定是拐点

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函数的极值和最值问题

一个区域内，最值只有1个，极值可以有多个；
极值是局部区域内的最值；
极值不可在端点处取得，只能在区域内部取得。

1. 极值定理
   (1). 必要条件定理
   若函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值且在此处可导，则$f'(x_0)=0$(极值+可导—>驻点)。
   (2). 第一充分条件定理
   设函数$f(x)$在点$x_0$处连续且在$x_0$的邻域内可导，
   若$x_0$左侧$f'(x)>0$，右侧$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$x_0$处取得极大值(左增右减—>极大值)；
   若$x_0$左侧$f'(x)<0$，右侧$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$x_0$处取得极小值(左减右增—>极小值)；
   若$x_0$左右两侧$f'(x)$同号，则函数$f(x)$在$x_0$处无极值(左增右增/左减右减—>无极值)。
   (3). 第二充分条件定理
   设函数$f(x)$在点$x_0$处$f'(x_0)=0,f''(x_0)\ne 0$，
   若$f''(x_0)<0$，则函数$f(x)$在$x_0$处取得极大值(驻点+凸—>极大值)；
   若$f''(x_0)>0$，则函数$f(x)$在$x_0$处取得极小值(驻点+凹—>极小值)；
   因为极值也可能在不可导点处取得，所以只能正推不能反推，即不是充要条件。
   求函数极值的步骤：
   (1). 求函数$f(x)$的定义域；
   (2). 求一阶导$f'(x)$;
   (3). 求$f'(x)=0$的点和$f'(x)$不存在的点；
   (4). 判断是否是极值，以及是极大值还是极小值：
   a. $f'(x)$不存在的点只能使用第一充分条件定理判断(列表看$f'(x)$正负)；
   b. $f'(x)=0$的点可以使用第一或第二充分条件定理判断(带入$f''(x)$看正负)；
   例题1： 求函数$f(x)=2x^3-6x^2-18x-7$的极值。
   解：定义域为$(-\infty,+\infty)$ $f'(x)=6x^2-12x-18$ 令$f'(x)=0$，得$x_1=-1,x_2=3$
   使用第二充分条件 $f''(x)=12x-12$ 当$x=-1$时，$f''(-1)=-24<0$，故$x=-1$为极大值点；
   极大值为$f(-1)=2 \cdot (-1)^3-6 \cdot (-1)^2-18 \cdot(-1) -7=3$
   当$x=3$时，$f''(x)24>0$，故$x=3$为极小值点；
   极小值为$f(3)=2 \cdot 3^3-6 \cdot 3^2-18 \cdot 3-7=54-54-54-7=-61$
   例题2：求函数$f(x)=x-\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3} }+\frac{1}{2}$
   解：定义域为$(-\infty,+\infty)$ $f'(x)=1-x^{-\frac{1}{3} }$ 令$f'(x)=0$，得$x=1$且得到不可导点$x=0$
   解$1-\frac{1}{\sqrt[3]{x} }$

	(-∞,0)	0	(0,1)	1	(1,+∞)
f’(x)	+	×	-	0	+
f(x)	$\nearrow$	极大	$\searrow$	极小	$\nearrow$

由上表可知，当$x=0$时取得极大值，即$f(0)=\frac{1}{2}$；
当$x=1$时取得极小值，即$f(1)=0$；

1. 最值
   求闭区间内函数的最值：
   (1). 求一阶导$f'(x)$；
   (2). 求所有$f'(x)=0$的点和$f'(x)$不存在的点以及端点的函数值；
   (3). 比较这些函数值的大小，最大的就是最大值，反之。
   例题1：求函数$f(x)=x-\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3} }+\frac{1}{2}$在[-1,8]上的最值。
   解：$f'(x)=1-x^{-\frac{1}{3} }$
   令$f'(x)=0$，得$x=1$且得到不可导点$x=0$ $f(1)=0,f(0)=\frac{1}{2},f(-1)=-2,f(8)=\frac{5}{2}$ 比较得：最大值为$f(8)=\frac{5}{2}$，最小值为$f(-1)=-2$
   
   
   求实际问题的最值：
   (1). 要谁最大(小)为$y$，要调整的为$x$，建立目标函数，确定自变量取值范围；
   (2). 求目标函数驻点，若驻点唯一，则根据实际问题最值一定存在确定此驻点即为极值点。

例题1：如图：在半径为$r$的半圆内做一个内接矩形，矩形的长和宽为多少时能使矩形面积最大？

解：设面积为$y$，长为$x$，则宽为$\sqrt{r^2-(\frac{x}{2})^2 }$
建立目标函数$y=x \cdot \sqrt{r^2-(\frac{x}{2})^2 }$
$y=\sqrt{r^2\cdot x^2-\frac{1}{4}x^4 }$
$y'=\frac{1}{4}\cdot \frac{zr^2x-x^3}{\sqrt{r^2x^2-\frac{1}{4}x^4 } }$时，$x=\frac{2}{\sqrt{3} }r$
令$y'=0$，故$x=\sqrt{2}r$
$\therefore$当矩形长为$x=\sqrt{2}r$，宽为$\frac{\sqrt{2} }{2}r$时，矩形面积最大。

例题2：如图，需要造圆柱形油罐，体积为$V$，问底半径$r$和高$h$各为多少时，才能使表面积 最小？这时底直径与高之比是多少？

解：设表面积为$y$，底半径为$r$，则高为$\frac{V}{\pi r^2}$
建立目标函数$y=2\pi r^2+\frac{2V}{r}$
$y'=4\pi r-\frac{2V}{r^2}$
令$y'=0$，故$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi } }$
$r^3=\frac{V}{2 \pi} = V=r^3 \cdot 2\pi$
$h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{r^3 \cdot 2\pi}{\pi r^2}=2r=2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$
$\because$驻点唯一，且为实际应用题
$\therefore$当$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi} },h=2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$时表面积为最小值。
直径与高的比是$\frac{2r}{h}=\frac{1}{1}$
答：……

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函数曲线的渐近线

曲线上的一动点，沿着曲线趋近于无穷远时，该点与某直线的距离趋近于零，则称此直线为曲线的渐近线。
水平渐近线：如果渐近线是水平的，称为水平渐近线。
垂直渐近线(铅锤渐近线)：如果渐近线是垂直的，称为垂直渐近线。
斜渐近线：如果渐近线是斜的，称为斜渐近线。


渐近线的求法：

1. 水平渐近线
   实质=求趋于无穷时的极限；
   方法：求$x \to \infty$或$x \to +\infty$或$x \to -\infty$时函数的极限，若极限存在（假设等于A），则直线$"y=A"$即为水平渐近线；
2. 垂直渐近线
   实质=找到无穷间断点；
   方法：找出不满足定义域的点$x_0$，求$x \to x_0$或$x \to x_0^+$或$x \to x_0^-$时函数的极限，若极限为$\infty$，则直线$"x=x_0"$即为垂直渐近线；
3. 斜渐近线
   实质=；
   注意：曲线的渐近线可能有多条，也可能不存在。
   例题1：求曲线$y=\frac{3x^2+1}{x^2+2x-3}$的水平渐近线和垂直渐近线。
   解：$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+1}{x^2+2x-3} =3$
   即函数的水平渐近线为$y=3$ $\because x^2+2x-3 \ne 0$ $\therefore$函数间断点$x=-3,x=1$ $\because \lim_{x \to -3} \frac{3x^2+1}{x^2+2x-3}=\infty$ $\because \lim_{x \to 1} \frac{3x^2+1}{x^2+2x-3}=\infty$ $\therefore$函数的垂直渐近线为$x=-3,x=1$ 例题2：曲线$y=\frac{e^x-1}{x}$（A ）。
   A. 仅有水平渐近线
   B. 仅有垂直渐近线
   C. 既有水平渐近线又有垂直渐近线
   D. 既无水平渐近线也无垂直渐近线
   解：水平渐近线：$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x-1}{x}=\frac{-1}{-\infty}=0$，即水平渐近线为$y=0$
   水平渐近线：$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x-1}{x}=+\infty$，无极限。
   垂直渐近线：$\frac{e^x-1}{x}$，有$x \ne 0$；
   $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1$，即无垂直渐近线。

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导数习题

例题1. 曲线$xy+e^{y^2}-x=0$在点$(1,0)$处的切线方程为（$y=x-1$）。
解：$y+xy'+e^{y^2} \cdot 2y \cdot y'-1=0$
$y'=-\frac{1-y}{x+e^{y^2}\cdot 2y}$
$y'|(1,0)=\frac{1-0}{1+0}=1$
切线方程为$y-0=1(x-1)$，即$y=x-1$
例题2. 函数$f(x)=e^{x^2}$的单调区间和极值。
解：函数的定义域为$(-\infty,+\infty)$
$f'(x)=2xe^{x^2}$
令$f'(x)=0$得$x=0$
$f''(x)=2e^{x^2}+4x^2e^{x^2}$

	(-∞,0)	0	(0,+∞)
f’(x)	-	0	+
f(x)	$\searrow$	极小	$\nearrow$

由上表可知，函数在$(-\infty,0)$上单调增加，在$(0,+\infty)$上单调减少；
极值为$x=0$，即$f(x)=e^0=1$

例题3. 证明$x>0$时，$1+\frac{1}{2}x>\sqrt{1+x}$。
证明：构造函数$F(x)=1+\frac{1}{2}x-\sqrt{1+x}$
$F'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{1+x} }=\frac{\sqrt{1+x}-1 }{2\sqrt{1+x} }$
当$x>0$时，$F'(x)>0$
$\because F(x)$在$[0,+\infty)$上单调增加。
$\therefore$当$x>0$时，$F(x)>F(0)=0$
$1+\frac{1}{2}x-\sqrt{1+x}>0$，即$1+\frac{1}{2}x>\sqrt{1+x}$
例题4. 函数$f(x)=ln1+x^2$的凹区间为（A ）。
A. $(-\infty,-1)$
B. $(-1,1)$
C. $(1,+\infty)$
D. $(-\infty,-1)，(1,+\infty)$
解：定义域为$(-\infty,+\infty)$，
$f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}$，
$f''(x)=\frac{2\cdot (1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}$
令$f''(x)=0$，得$x=-1$或$x=1$

	(-∞,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
f’(x)	-	0	+	0	-
曲线	凸		凹		凸

例题5. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面的面积为$5m^2$，问底和宽$x$为多少时才能使截面的周长最小？从而使建造的材料最省。

解：设截面周长为$L$，
则构造函数$L=x+2y+\frac{\pi x}{2}$
由题可知，界面面积$5m^2$，
所以$5=xy+\frac{1}{8}\pi x^2$
得$y=\frac{5-\frac{1}{8}\pi x^2}{x}=\frac{5}{x}-\frac{\pi x}{8}$
即$L=x+2(\frac{5}{x}-\frac{\pi x}{8})+\frac{\pi x}{2}=x+\frac{\pi }{4}x+\frac{10}{x}$
$L'=1+\frac{\pi }{4}-\frac{10}{x^2}$
令$L'=0$，得$x=\sqrt{\frac{40}{4+\pi } }$
$\because$驻点唯一，且为实际问题；
$\therefore$当$x=\sqrt{\frac{40}{4+\pi } }$时，$L$取得最小值。
$\therefore$当$x=\sqrt{\frac{40}{4+\pi } }$时，截面周长最小。
$\therefore$当$x=\sqrt{\frac{40}{4+\pi } }$时，建造的材料最省。