高等数学-积分

一元函数积分学

不定积分

原函数与不定积分的概念及性质

积分是求导的逆运算，不定积分的本质就是已知导数（微分）求原函数的过程。

1. 原函数
   如果$F'(x)=f(x)$或者$dF(x)=f(x)dx$，则称函数$F(x)$为函数$f(x)$的一个原函数。
   原函数存在定理：如果函数在某区间内连续，则其在该区间内必有原函数；
   原函数性质：如果函数$f(x)$有一个原函数$F(x)$，那么它一定有无数个原函数；
   原函数之间相差一个常数；$f(x)$的全体原函数可以表示为$F(x)+C{\color{Red} }$，其中$C$为任意常数。
2. 不定积分
   函数$f(x)$的全体原函数即称为$f(x)$的不定积分，记为$\int f(x)dx$；
   其中$\int$为积分号，$f(x)$为被积函数，$f(x)dx$为被积表达式，$x$为积分变量。
   若函数$f(x)$为$f(x)$的一个原函数，则有：$\int f(x)dx=F(x)+C$。
   练习：
   (1). 求$\int x^3dx$
   解：$=\frac{x^4}{4}+C$
   (2). 求$\int e^xdx$
   解：$e^x+C$
   (3). 求$\int \frac{1}{1+x^2}dx$
   解：$\arctan x +C$
   (4). 求$\int \frac{1}{x}dx$
   解：$\ln|x|+C{\color{Orange} }$
3. 基本积分公式：
   (1). $\int kdx=kx+C$
   (2). $\int x^\mu dx=\frac{x^{\mu +1} }{\mu +1} +C$
   (3). $\int \frac{1}{x} dx=\ln |x|+C$
   (4). $\int e^x dx=e^x+C$
   (5). $\int \frac{1}{1+x^2} dx=\arctan x+C$
   (6). $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2} } dx=\arcsin x+C$
   (7). $\int \cos x dx=\sin x+C$
   (8). $\int \sin x dx=-\cos x+C$
   (9). $\int \frac{1}{\cos^2x} dx=\int \sec^2 xdx=\tan x+C$
   (10). $\int \frac{1}{\sin^2x} dx=\int \csc^2 xdx=-\cot x+C$
   (11). $\int \sec x \tan x dx=\sec x+C$
   (12). $\int \csc x \cot x dx=-\cot x+C$
4. 不定积分的性质
   (1). 设函数$f(x)$及$g(x)$的原函数存在，则$\int [f(x) \pm g(x)]dx=\int f(x)dx \pm \int g(x)dx$。
   (2). 设函数$f(x)$的原函数存在，$k$为非零常数，则$\int kf(x)dx=k \int f(x)dx$。
   (3). 设函数$f(x)$的原函数存在，则$[\int f(x)dx]'=f(x);d[\int f(x)dx]=f(x)dx$。
   (4). 设函数$f(x)$可导，则$\int f'(x)dx=f(x)+C;\int df(x)=f(x)+C$。
   规律1：先积后导=本身；先积后微=本身$dx$；先导/微后积=本身+$C$。
   规律2：最外层是$d$则有$dx$，最外层是$\int$则有$C$，最外层是$'$则没$dx$也没$C$。
   
   
   例题1：设$f(x)$可导，则下列等式正确的是（ D ）；
   A. $\int f'(x)dx=f(x)$
   B. $d[\int f(x) dx]=f(x)$
   C. $[\int f(x) dx]'=f(x)+C$
   D. $\frac{d}{dx} [\int f(x) dx]=f(x)$
   解析：有两个规律，A最外层为$\int$最后没有$C$，错误；
   B最外层为d，最后没有$dx$，错误；
   C最外层导数，最后没有有$dx$，正确；
   例题2：设$e^{-x}$是函数$f(x)$的一个原函数，则下列等式正确的是（ D ）；
   A. $\int f'(x)dx=e^{-x}$
   B. $\int f(x)dx=e^{-x}$
   C. $d[\int f'(x) dx]'=e^{-x}dx$
   D. $d [\int f(x) dx]=-e^{-x}dx$
   解析：A、B最外层为$\int$，最后没有$C$，错误；
   例题3：若$f(x)$的一个原函数是$\cos x$，则$f'(x)=$();
   A. $\sin x$
   B. $-\sin x$
   C. $-\cos x$
   D. $\cos x$
   解析：$\cos x \to -\sin x \to -\cos x$
   例题4：设$F(x)$为$\ln \cos x$的一个原函数，则$dF(x)=$($\ln \cos x dx{\color{Red} }$);
   例题5：设$f(x)$可导，则$d[\int f(2x)dx]=$(C);
   A. $f(2x)$ B. $f(2x)+C$ C. $f(2x)dx$ D. $f'(2x)dx$
   解析：A,B最外层为$d$，最后没有$dx$，错误；

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直接积分法

根据基本积分公式以及第一第二基本性质；
例题1：求$\int (e^x-3\cos x)dx$
解：原式$=\int e^xdx-3\int \cos x dx$
$=e^x-3\sin x+C$
例题2：求$\int \sqrt{x}(x^2-5)dx$
解：原式$=\int (x^{\frac{5}{2}}-5x^{\frac{1}{2} })dx$
$\int x^{\frac{5}{2} }dx-5\int x^{\frac{1}{2} }$
$=\frac{2}{7}x^{\frac{7}{2} }-\frac{10}{3}x^{\frac{3}{2} }+C$
$=\frac{2}{7}x^{\frac{7}{2} }-\frac{10}{3}\sqrt{x}+C$
例题3：求$\int \frac{dx}{x^3}$
解：原式$=\int \frac{1}{x^{3} }dx$
$=-\frac{x-2}{2}+C$
$=-\frac{1}{2x^2}+C$
例题4：求$\int \frac{dx}{x^3\sqrt[3]{x} }dx$
解：原式$=\int x^{-\frac{4}{3} }dx$
$=\frac{x^{-\frac{1}{3} } }{-\frac{1}{3} }+C$
$=-\frac{3}{\sqrt[3]{x} }+C$
例题5：求$\int (\frac{2}{1+x^2}-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2} }+\frac{3}{x} )dx$
解：原式$=2\int \frac{1}{1+x^2}dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2} }dx+3\int \frac{1}{x}dx$
$=2\arctan x-\frac{1}{2} \arcsin x+3\ln |x|+C$


利用平方差、立方差、完全平方、三角恒等式、二倍角公式等对被积函数进行恒等变形，拆分成可以直接积分的和或差的形式。
例题6：求$\int (\sqrt{x}-\sqrt[3]{x} )^2dx$
解：原式$=\int ((\sqrt{x} )^2+(\sqrt[3]{x})^2-2\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} )dx$
$=\int (x +x^{\frac{2}{3} } -2x^{\frac{5}{6} }dx$
$=\frac{1}{2}x^2+\frac{x^{\frac{5}{3} } }{\frac{5}{3} }-2\frac{x^{\frac{11}{6} } }{\frac{11}{6} }+C$
$=\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3} }-\frac{12}{11}x^{\frac{11}{6} }+C$
例题7：求$\int \frac{(x-1)^3}{x^2}dx$
二项式定理
解：原式$=\int \frac{x^3-3x^2+3x-1}{x^2}dx$
$=\int (x-3+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2} )dx$
$=\frac{1}{2}x^2-3x+3\ln |x|+\frac{1}{x}+C$
例题8：求$\int \frac{2+3x^2}{1+x^2}dx$
解：原式$=\int \frac{3+3x^2-1}{1+x^2}dx$
$=\int (3+\frac{1}{1+x^2} )dx$
$=3x-\arctan x+C$
例题9：求$\int \frac{1}{x^2-5x+6}dx$
解：原式$=\int \frac{1}{(x-3)(x-2)}dx$
解析${\color{Violet} \frac{1}{(x-2)(z-3)} \longrightarrow \frac{a}{x-2}-\frac{b}{x-3 } }$
求出$a,b$，得$a=b=-1$
$=\int (\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2} )dx$
$=\ln |x-3|-\ln |x-2|+C$
$=\ln |\frac{x-3}{x-2} |+C$
例题10：求$\int \frac{\cos 2x}{\cos^2x \sin^2x}dx$
二倍角公式：${\color{Red} \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x}=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$
使用公式：${\color{Blue} \int \frac{1}{\cos^2x}dx=\int \sec^2xdx=\tan x+C }$
${\color{Blue} \int \frac{1}{\sin^2x}dx=\int \csc^2xdx=-\cot x+C }$
$=\int (\frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{\cos^2x} )dx$
解：原式 $=\int \frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x \sin^2x}dx$
$=\int (\frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{\cos^2x} )dx$
$=-\cot x-\tan x+C$
例题11：求$\int \sin^2\frac{x}{2}dx$
有二倍角公式$\cos 2x=1-2\sin^2x$
令$x=\frac{x}{2}$
有$\cos x=1-2\sin^2\frac{x}{2}$
$\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$
解：原式$=\int (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos x)dx$
$=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x+C$
例题12：求$\int \tan^2xdx$
有公式$\tan^2x=\sec^2x-1$
$\int \sec^2xdx=\tan x+C$
解：原式$=\int (\sec^2x-1)dx=\tan x-x+C$
基本代数式，可做恒等变形：
(1). ${\color{Red} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$
(2). ${\color{Red} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$
(3). ${\color{Red} (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$
(4). ${\color{Red} (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$
(5). ${\color{Red} a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$
(6). ${\color{Red} a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}$
(7). ${\color{Red} a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}$


(a).${\color{Purple} \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x}$
(b). ${\color{Purple} \sin 2x=2\sin x \cos x}$
(c). ${\color{Purple} \sin x^2+\cos x^2 =1}$
(d). ${\color{Purple} \tan x^2+1=\sec x^2}$
(e). ${\color{Purple} 1-\cot x^2=\csc x^2}$

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第一类换元法（凑微分法）

积分式较为复杂，不能直接套用基本积分公式，整体结构为$\int u'f(u)dx$;
我们需要将$u'f(u)dx$变为$du$的形式，将积分式转化为可以使用的基本积分公式$\int f(u)du$，利用基本积分公式解决问题，即凑微分法。
例题1：求$\int \cos^2x\sin xdx$
解：原式$=-\int \cos^2x \cdot (-\sin x)dx$
$=-\int \cos^2xd\sin x$
$=-\frac{1}{3}\cos^3x+C$
例题2：求$\int 2\cos 2xdx$
解：原式$=\int \cos 2x \cdot 2dx$
$=\int \cos 2xd 2x$
$=\sin 2x+C$
例题3：求$\int 2xe^{x^2}dx$
解：原式$=\int e^{x^2}\cdot 2xdx$
$=e^{x^2}dx^2$
$=e^{x^2}+C$
例题4：求$\int \frac{1}{2x+3}dx$
解：原式$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{2x+3}2dx$
$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{2x+3}2dxd(2x+3)$
$=\frac{1}{2}\ln |2x+3|+C$


总结公式：${\color{Red} \int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}ln|ax+b|+C (a \ne 0) }$


例题5：求$\int \frac{1}{4+x^2}dx$
解析：公式$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C\Longrightarrow \int \frac{1}{1+\Box ^2} d\Box =\arctan \Box +C$
解：原式$=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2}dx$
$=\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2}\cdot \frac{1}{2}dx$
$=\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+x^2}d\frac{x}{2}$
$=\frac{1}{2} \arctan x+C$


总结公式：${\color{Red} \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C (a \ne 0) }$


例题6：求$\int \frac{1}{x^2-1}dx$
解析：同上章例题9；
解：原式$=\frac{1}{2}\int (\frac{1}{(x-1)}-\frac{1}{x+1})dx$
$=\int (\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)} )dx$
$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}dx \int \frac{1}{x+1}dx$
$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}d(x-1)-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}d(x+1)$
$=\frac{1}{2}\ln |x-1|-\frac{1}{2}\ln |x+1|+C$
$=\frac{1}{2}\ln |\frac{x-1}{x+1} |+C$


总结公式：${\color{Red} \int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C (a \ne 0) }$


例题7：求$\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2} }dx$
解析：公式$\int \frac{1}{\sqrt(1-x^2)}dx=\arcsin x+C\Longrightarrow \int \frac{1}{1-\Box ^2} d\Box =\arcsin \Box +C$
解：原式$=\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2} }dx$
$=\int \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}\cdot 4} } dx$
$=\int \frac{1}{2\cdot \sqrt{1-(\frac{x}{2})^2} }dx$
$=\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2} }\cdot \frac{1}{2}dx$
$=\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2} }d(\frac{x}{2})$
$=\arcsin \frac{x}{2}+C$


总结公式：${\color{Red} \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2} }dx=\arcsin \frac{x}{a}|+C (a > 0) }$


例题8：求$\int \frac{e^{\sqrt{x} } }{\sqrt{x} }dx$
解：原式$=\int e^{\sqrt{x} } \cdot \frac{1}{\sqrt{x} }\cdot \frac{1}{2} \cdot 2dx$
$=2\int e^{2\sqrt{x} }dx$
$=2\int e^{\sqrt{x} }d\sqrt{x}$
$=2e^{\sqrt{x} }+C$
例题9：求$\int \tan xdx$
解：原式$=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx$
$=-\int \frac{1}{\cos x}d\cos x$
$=-\ln |\cos x|+C$


总结公式：${\color{Red} \int \tan xdx=-\ln | \cos x|+C }$


例题10：求$\int \sec xdx$
解析：$\int \frac{1}{\cos^2x}dx=\int \sec^2xdx=\tan x+C$
$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$
解：原式$=\int \frac{\sec x \cdot (\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}dx$
$=\int \frac{\sec^2x+\sec x\cdot \tan x)}{\sec x+\tan x}dx$
$=\int \frac{1}{\sec x+\tan x}d(\sec x+\tan x)$
$=\ln |\sec x+\tan x|+C$


总结公式：${\color{Red} \int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C }$


例题11：求$\int \sin^3xdx$
解：原式$=\int \sin x\cdot \sin^2xdx$
$=\int (1-\cos^2x)\cdot (-\sin x)dx$
$=\int (\cos^2x-1)d(\cos x)$
$=\int \cos^2xd(\cos x)-\int 1d(\cos x)$
$=\frac{1}{3}\cos^3x-\cos x+C$
例题12：求$\int \frac{x^2}{(x+1)^3}dx$
解：令$x+1=t,x=t-1,dx=d(t-1)=dt$
原式$=\int \frac{(t-1)^2}{t^3}dt$
$=\int \frac{t^2-2t+1}{t^3}dt$
$=\int (\frac{1}{t}-\frac{2}{t^2}+\frac{1}{t^3} )dt$
$=\ln |t|+\frac{2}{t}-\frac{1}{2t^2}+C$
$=\ln |x+1|+\frac{2}{x+1}-\frac{1}{2(x+1)^2}+C$
例题13：求$\int \frac{(x+2)^3}{(x+3)}dx$
解：令$x+3=t,x=t-3,dx=d(t-3)=dt$
原式$= \int \frac{(t-1)^3}{t}dt$
$=\int (\frac{t^3-3t^2+3t-1}{t^2} )dt$
$=\int (t-3+\frac{3}{t}-\frac{1}{t^2} )dt$
$=\frac{t^2}{2}-3t+3\ln |t|+\frac{1}{t}+C$
$=\frac{1}{2}(x+3)^2-3(x+3)+3\ln |x+3|+\frac{1}{x+3}+C$

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第二类换元法（根式代换法）

例题1：求$\int \frac{1}{1+\sqrt{2x+3} }dx$
解：令$2x+3=t^2,x=\frac{t^2-3}{2},dx=tdt$
原式$= \int \frac{1}{1+t}tdt$
$=\int \frac{t+1-1}{1+t}dt$
$=(1-\frac{1}{1+t})$
$=t-\ln|1+t|+C$
$=\sqrt{2x+3}-\ln |\sqrt{2x+3}+1|+C$
“1型”根式代换：式子中含有$\sqrt[n]{ax+b}$
例题2：求$\int \frac{2}{x+\sqrt[3]{x} }dx$
解：令$x=t^3,x^{\frac{1}{3} }=t,dx=3t^2dt$
原式$=\int \frac{2}{t^3+t}3t^2dt$
$=\int \frac{6t}{t^2+1}dt$
$=3\int \frac{1}{t^2+1}d(t^2+1)$
$=3\ln |t^2+1|+C$
$=3\ln x^{\frac{2}{3} +1}+C$
例题3：求$\int x\sqrt[3]{3x+1}dx$
解：令$\sqrt[3]{3x+1}=t,x=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3},dx=d(\frac{1}{3t^3-\frac{1}{3} })=t^2dt$
原式$=\int (\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3} )t\cdot t^2dt$
$=\int (\frac{1}{3}t^6-\frac{1}{3}t^3)dt$
$=\frac{1}{21}t^7-\frac{1}{12}t^4+C$
$=\frac{1}{21}(3x+1)^{\frac{7}{3} }-\frac{1}{12}(3x+1)^{\frac{4}{3} }+C$
“2型”根式代换：式子中同时含有$\sqrt[m]{x}$和$\sqrt[n]{x}$
令$t=\sqrt[m,n]{x},[m,n]$代表$m$和$n$的最小公倍数。
例题4：求$\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x} }dx$
解：令$\sqrt[4]{x}=t,x=t^4,dx=dt^4=4t^3dt$
原式$=\int \frac{1}{t^2+t}4t^3dt$
$=4\frac{t^2}{t+1}dt$
令$t+1=u,t=u-1,dt=d(u-1)=du$
原式$4\int \frac{(u-1)^2}{u}du$
$=4\int \frac{u^2-2u+1}{u}du$
$=4\int (u-2+\frac{1}{u})dx$
$=2(u)-8u+4\ln |u|+C$
$=2(\sqrt[4]{x}+1)^2-8(\sqrt[3]{x}+1)+4\ln (\sqrt[4]{x}+1)+C$
例题5：求$\int x\frac{\sqrt[3]{3} }{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x} }dx$
解：令$\sqrt[6]{x}=t,x=t^6,dx=dt^6=6t^5dt$
原式$=\int \frac{t^2}{t^6 \cdot (t^3-t^2) }\cdot 6t^5 dt$
$6\int\frac{1}{t^2+t}dt$
$=6\int \frac{1}{t}-\frac{1}{(t+1)}dt$
$=6\ln t-6\ln |t+1|+C$
$=6\ln |\frac{t}{t+1}|+C$
$=6\ln \frac{(\sqrt[6]{x}) }{6\sqrt[6]{x}+1}+C$
一般当被积函数含有：
(1). $\sqrt{a^2-x^2}$，可以代换$x=a\sin u$
(2). $\sqrt{x^2+a^2}$，可以代换$x=a\tan u$
(3). $\sqrt{x^2-a^2}$，可以代换$x=a\sec u$
通常称以上代换为三角代换，当被积函数含有以上二次根式，积分时是否一定使用三角代换。
例题6：计算$\int \frac{x+\arcsin x}{\sqrt{1-x^2} }dx$
解：原式$=\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2} }dx+\int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2} }dx$
$=\int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2} }dx+\int \arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2} }dx$
$=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2} }dx^2+\int \arcsin x d (\arcsin x )$
$=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2} }d(1-x^2)+\frac{1}{2}\arcsin x$
$=\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cdot \sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2} \arcsin^2x+C$
$=\frac{1}{2} -\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\arcsin^2x+C$
第二类换元法常见类型：
(1). $\int f(x,\sqrt[n]{ax+b})dx$，令$t=\sqrt[n]{ax+b}$
(2). $\int f(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d} })dx$，令$t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d} }$
(3). $\int f(x,\sqrt{a^2-x^2})dx$，令$x=a\sin / x=a\cos t$
(4). $\int f(x,\sqrt{a^2+x^2})dx$，令$x=a\tan t$
(5). $\int f(x,\sqrt{x^2-a^2})dx$，令$x=a\sec t$
(6). $\int f(a^x)dx$，令$t=a^x$
分母中因子次数较高时，可以使用倒代换。
常用基本积分公式：
$\int \tan xdx=-\ln|\cos x|+C$
$\int \cot xdx=\ln |\sin x |+C$
$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x |+C$
$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x |+C$
$\int \frac{1}{a^2+x^2 }dx=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C$

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分部积分法

公式：$\int uv' dx=\int udv=uv-\int u'v dx=uv-\int vdu$
反对幂指三
例题1：求$\int x\arctan xdx$
解：原式$=\int \arctan x \cdot xd(\frac{1}{2}x^2)$
$\frac{1}{2}\int \arctan xdx^2$
$=\frac{1}{2}(x^2\arctan x-\int x^2d(\arctan x))$
$=\frac{1}{2}(x^2\arctan x-\int x^2\cdot \frac{1}{1+x^2}dx)$
$=\frac{1}{2}(x^2\arctan x-\int \frac{x^2+1-1}{1+x^2}dx)$
$=\frac{1}{2}(x^2\arctan x-\int 1-\frac{1}{1+x^2}dx)$
$=\frac{1}{2}(x^2\arctan x-x+\arctan x)+C$
例题2：求$\int \arctan xdx$
解：原式$=x\arctan x-\int xd(\arctan x)$
$=x\arctan x-\int x\cdot \frac{1}{1+x^2}dx$
$=x\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+x^2}dx^2$
$=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)$
总结：{\color{Red} \int udv=uv-\int vdu}
例题3：求$\int x^3\ln xdx$
解：原式$=\int \ln x \cdot xd(\frac{1}{4}x^4)$
$=\frac{1}{4}\int \ln xdx^4$
$=\frac{1}{4}(x^4\ln x-\int x^4d(\ln x))$
$=\frac{1}{4}(x^4\ln x-\int x^4\cdot \frac{1}{x}dx)$
$=\frac{1}{4}(x^4\ln x-\int x^3dx)$
$=\frac{1}{4}x^4\ln x-\frac{1}{16}x^4+C$
例题4：求$\int e^x\sin xdx$
解：原式$=\int e^xd(-\cos x)$
$=-\int e^xd(\cos x)$
$=-(e^x \cdot \cos x-\int \cos xd(e^x))$
$=-(\cos x \cdot e^x-\int \cos x\cdot e^x dx)$
$=-\cos x \cdot e^x+\int e^x d\sin x$
$=-\cos x \cdot e^x+\sin x \cdot e^x-\int \sin xde^x$
$=-\cos x \cdot e^x+\sin x \cdot e^x-\int e^x\cdot \sin xdx$
$\int e^x\sin xdx=-\cos x \cdot e^x+\sin x \cdot e^x-\int e^x\cdot \sin xdx$
$2\int e^x\sin xdx=-\cos x \cdot e^x-\sin x \cdot e^x$
$\int e^x\sin xdx =\frac{-\cos x \cdot e^x+e^x \cdot \sin x }{2}+C$

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定积分

定积分的概念

1. 概念
   指用来求曲边图形面积的工具，记为$\int_a^b f(x)dx$，其中$a,b$为积分上下限，$f(x)$为被积函数。
2. 定积分的几何意义$\int_a^b f(x)dx$表示曲线$y=f(x)$与$x$轴以及直线$x=a,x=b$所围成的各部分的面积的代数和。 $f(x)>0,\int_a^b f(x)dx>0$ $f(x)<0,\int_a^b f(x)dx < 0$
3. 定积分比较大小 $f(x)\geq g(x)$，则$\int_a^b f(x)dx\geq \int_a^b g(x)dx$ 例题1：比较$\int_0^{\frac{\pi}{2} } xdx$与$\int_0^{\frac{\pi}{2} } \sin xdx$的大小.
   解：$f(x)=x,g(x)=\sin x$ $f(x)\geq g(x)$ $\int_0^{\frac{\pi}{2} } xdx > \int_0^{\frac{\pi}{2} } \sin xdx$

例题2：比较$\int_0^1 e^xdx$与$\int_0^1 e^{x^2} dx$的大小.
解：从$x \in (0,1)$比较$x,x^2$，取一特殊值比较大小。
即$\int_0^1 e^xdx > \int_0^1 e^{x^2} dx$

1. 定积分的性质
   (1). $\int_a^b f(x)\pm g(x)dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx$
   (2). $\int_a^b k\cdot f(x)dx=k\int_a^b f(x)dx(k与x无关)$
   (3). $\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$
   (4). $\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a$（上下限调换，添负号）
   (5). $\int_a^b 1dx+\int_a^b dx=b-a$
   例题3：设$f(x)$在$[a,b]$上连续，下列不正确的是()
   A. $\int_0^x f(t)dt$是$f(x)$的一个原函数
   B. $\int_x^b f(t)dt$是$-f(x)$的一个原函数
   C. $\int_a^b f(t)dt$是$f(x)$的一个原函数
   D. $f(x)$在$[a,b]$上可积
   解析：$f(x)$在$[a,b]$上连续，$\int_0^x f(t)dt$是$(\int_0^x f(t)dt)'=f(x)$的一个原函数，$\int_x^b f(t)dt$是$(\int_x^b f(t)dt)'=0-f(x)$的一个原函数，$\int_a^b f(t)dt$不是$f(x)$的一个原函数$定积分是一个数字，所以f(x)=0$，$f(x)$在$[a,b]$上可积，故选C.

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定积分的计算

定积分两个公式

牛顿-莱布尼茨公式：$\int_a^b f(x)dx=F(x)|\begin{matrix}b\\a\end{matrix}=F(b)-F(a)$
分部积分公式：$\int_a^b uv' dx=\int_a^b udv=uv|\begin{matrix}b\\a\end{matrix}-\int_a^b vu' dx$
例题1：求$\int_0^1 (x^2+x+2)dx$
解：原式$=(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2x)|\begin{matrix}1\\0\end{matrix}$
$=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+2-0=\frac{17}{6}$
例题2：求$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}dx$
解：原式$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cos x-\sin x)\cdot (\sin x+\cos x )}{\cos x-\sin x}dx$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x+\cos x dx$
$=(-\cos x+\sin x)|\begin{matrix}\frac{\pi}{2}\\0\end{matrix}$
$=(0+1)-(-1+0)$
$=2$
例题3：求$\int_1^2 e^{\frac{1}{x} }\cdot \frac{1}{x^2}dx$
解：原式$=\int_1^2 e^{\frac{1}{x} }\cdot (-\frac{1}{x})'dx$
$=-\int_1^2 e^{\frac{1}{x} }d(\frac{1}{x})$
$=-e^{\frac{1}{x} }|\begin{matrix}2\\1\end{matrix}$
$=-e^{\frac{1}{2} }+e$
例题4：求$\int_0^1 x\cdot e^{-x}dx$
解：原式$=\int_0^1 x d(-e^{-x})$
$=-(x\cdot e^{-x}|\begin{matrix}1\\0\end{matrix}-\int_0^1e^{-x}dx)$
$=-(xe^{-x}|\begin{matrix}1\\0\end{matrix}+e^{-x}|\begin{matrix}1\\0\end{matrix})$
$=-(e^{-1}+e^{-1}-1$
$=-2e^{-1}+1=1-\frac{2}{e}$

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定积分四个运算技巧

1. 定积分偶倍奇零（条件：区间对称） $\int_{-a}^{a} f(x)dx=\left\{\begin{matrix}2\int_{0}^{a} f(x)dx,f(x)为偶函数\\0，f(x)为奇函数\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}常见偶函数：C,x^{偶数},|x|,\cos x,f(x)+f(-x) \\常见奇函数：x^{奇数},\sin x,\arctan x,f(x)-f(-x)\end{matrix}\right.$ 使用技巧：加减运算，分开独立判断奇偶性；
   例题1：求$\int_{-1}^{1} (x^3\cos x+1)dx=(D)$ $A. 0 B. \frac{1}{2} C. 1 D. 2$ 解析：$x^3\cos x$为奇函数，1为偶函数，故原式为$2\int_0^1 1dx=2$
   例题2：设$f(x)$在$[-l,l]$上连续，则$\int_{-l}^{l} f(x)-f(-x)dx=(0)$
   解析：$f(x)-f(-x)$为奇函数，故原式为$0$
   例题3：$\int_{-1}^{1} \frac{2+\sin x}{1+x^2}dx$
   解：原式$=\int_{-1}^{1} \frac{2}{1+x^2}dx+\int_{-1}^{1}\frac{\sin x}{1+x^2}$
   函数$\frac{2}{1+x^2}$为偶函数，$\frac{\sin x}{1+x^2}$为奇函数
   故原式为$2\cdot 2\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx+0=4\arctan x|\begin{matrix}1\\0\end{matrix}=4(\arctan 1-\arctan 0)=\pi$
   例题4：求定积分$\int_{-\pi}^{\pi} (\sqrt{1+\cos x}+|x|\cdot x)dx$ $\sqrt{1+\cos x}$为偶函数，$|x|\cdot x$为奇函数 解：原式$=2\int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos x}dx$ $=2\int_{0}^{\pi} \sqrt{2}\cdot \cos \frac{x}{2}dx$ $=2\cdot 2\sqrt{2} \int_{0}^{\pi} \cos \frac{x}{2}d(\frac{x}{2})$ $=4\sqrt{2}\int_{0}^{\pi} \cos \frac{x}{2} d(\frac{x}{2})$ $=4\sqrt{2} \sin \frac{x}{2}|\begin{matrix}\pi\\0\end{matrix}$ $=4\sqrt{2}\cdot(\sin \frac{\pi}{2}-\sin 0)$ $=4\sqrt{2}$
2. 定积分点火公式（华里氏公式）
   条件：积分区间为$(0,\frac{\pi}{2})$
   公式：$\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\sin ^nxdx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\cos ^nxdx=\left\{\begin{matrix}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\dots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2} ，n为偶数 \\\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\dots \frac{2}{3}\cdot 1 ，n为奇数 \end{matrix}\right.$
   注意：${\color{Red} \int_{0}^{\pi }\sin ^n xdx=2\int_{0}^{\frac{\pi }{2} } \sin ^n xdx }$
   例题5： 求$\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\cos ^6xdx$
   解：原式$=\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{64}$
   例题6：求$\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\sin ^5xdx$
   解：原式$=\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{4}{15}$
   例题6：求$\int_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi }{2} }(\sin ^4\theta +\cos ^3\theta )d\theta$
   解：原式$=2\int_0^{\frac{\pi}{2} }(\sin ^4\theta +\cos ^3\theta )d\theta$ $=2(\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2} +\frac{2}{3}\cdot 1)$ $=\frac{3\pi}{8}+\frac{4}{3}$
3. 定积分求1/4圆面积
   公式：$\int_{0}^{a} \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{4}\pi a^2$
   例题7：$\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^2}dx=\int_{0}^{2}\sqrt{2^2-x^2}dx=\frac{1}{4}\pi \cdot 4=\pi$
   例题8：求$\int_{-a}^{a} (b+x)\sqrt{a^2-x^2}dx$
   解：原式$=\int_{-a}^{a} b\sqrt{a^2-x^2}+x\sqrt{a^2-x^2}dx$ $=\int_{-a}^{a} b\sqrt{a^2-x^2}dx$ $=2b\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx$ $=2b\cdot \frac{1}{4}\pi a^2=\frac{1}{2}\pi a^2$ 例题9：设$f(x)=3x-\sqrt{1-x^2}-\int_{0}^{1} f(x)dx，求f(x)$
   解：令$\int_{0}^{1} f(x)dx=A$则$f(x)=3x-\sqrt{1-x^2}-A$ $\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1} 3xdx\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2}dx-\int_{0}^{1}Adx$ $A=3\frac{1}{2}|\begin{matrix}1\\0\end{matrix} -\frac{\pi}{4} -Ax|\begin{matrix}1\\0\end{matrix}$ $A=3\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{4}\pi -A$ $2A=\frac{3}{2}-\frac{1}{4}\pi$ $A=\frac{3}{4}-\frac{1}{8}\pi$ 故$f(x)=3x-\sqrt{1-x^2}-\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\pi$
4. 定积分换元法 $换元类型\left\{\begin{matrix}1).无理根式代换\\2).三角代换\end{matrix}\right.$ 注:定积分换元换限
   例题10：求$\int_{1}^{4} \frac{1}{x(1+\sqrt{x}) }dx$
   解：令$\sqrt{x}=t,x=t^2,dx=2tdt$
   上限换元：$x=4,t=2$，下限换元：$x=1,t=1$
   故：原式$=\int_{1}^{2} \frac{1}{t^2(1+t)}2tdt$ $=2\int_{1}^{2} \frac{1}{t(1+t)}dt$ $=2\int_{1}^{2} \frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}dt$ $=2(\ln t-\ln |1+t|)|\begin{matrix}2\\1\end{matrix}$ $=2\ln \frac{2}{3}-2\ln \frac{1}{2}$ $=2\ln \frac{4}{3}$ 例题11：求$\int_{0}^{1} x^2 \cdot \sqrt{1-x^2}dx$
   解：令$x=\sin t，dx=\cos tdt$
   上限换元：$x=1,t=\frac{\pi}{2}$，下限换元：$x=0,t=0$
   原式$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \sin ^2t\cdot \sqrt{1-sin^2t} \cdot \cos tdt$ $=\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \sin ^2t\cdot \cos ^2tdt$ $=\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } (1-\cos ^2t)\cdot \cos ^2tdt$ $=\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \cos ^2t-\cos ^4tdt$ $=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}-\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}$ $=\frac{\pi}{16}$

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分段函数定积分

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{x_0}f(x)dx+\int_{b}^{x_0}f(x)dx$

注：遇到分段函数定积分，从分段点分开单独求左侧和右侧的积分，再相加。
例题1：$f(x)=\left\{\begin{matrix}e^x,x\le 1\\\ln x,x>1\end{matrix}\right.求\int_{0}^{e}f(x)dx$
解：$\int_{0}^{e}f(x)dx$
$=\int_{0}^{1}e^xdx+\int_{1}^{e}\ln xdx$
$=e^x|\begin{matrix}1\\0\end{matrix}+(x \cdot \ln x)|\begin{matrix}e\\1\end{matrix}-\int_{1}^{e}x \cdot \frac{1}{x}dx$
$=e-1+e-0-x|\begin{matrix}e\\1\end{matrix}$
$=e$
例题2：$f(x)=\left\{\begin{matrix}1+x^2,x<1\\e^x,x\ge 1\end{matrix}\right.求\int_{\frac{1}{2} }^{2}f(1-x)dx$
解：换元，令$1-x=t,x=1-t,dx=-dt$
换上下限，$x=\frac{1}{2} ,t=\frac{1}{2}$，$x=2,t=-1$
原式$=-\int_{\frac{1}{2} }^{-1}f(t)dt$
$=\int_{-1}^{\frac{1}{2} }f(t)dt$
$=-\int_{-1}^{0}f(t)dt+\int_{0}^{\frac{1}{2} }f(t)dt$
$=\int_{-1}^{0}(1+t^2)dt+\int_{0}^{\frac{1}{2} }e^tdt$
$=(t+\frac{1}{3}t^3)|\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}+e^t|\begin{matrix}\frac{1}{2}\\0\end{matrix}$
$=0-(-1-\frac{1}{3})+e^{\frac{1}{2} }-e^0$
$=\frac{1}{3}+e^{\frac{1}{2} }-1$

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定积分等式证明

积分区间再现公式：$\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{b} f(a+b-x)dx$
证明再现公式：换元，令$a+b-x=t,x=a+b-t,dx=-dt$
换上下限，$x=a,t=b$，$x=b,t=a$
故$\int_{a}^{b} f(a+b-x)dx=-\int_{b}^{a} f(t)dt=\int_{a}^{b}f(t)dt$
使用条件：等式两侧积分区间一样
例题1：证明：$\int_{0}^{1} x^m(1-x)^ndx=\int_{0}^{1} x^n(1-x)^mdx$
证明：$\because \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$
故$\int_{0}^{1} x^m(1-x)^ndx=\int_{0}^{1} (1+0-x)^n[1-(1+0-x)]^mdx$
得$\int_{0}^{1} x^m(1-x)^ndx=\int_{0}^{1} (1-x)^m\cdot x^ndx$
故原式成立。
例题2：证明：$\int_{0}^{\frac{\pi }{2} } f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }f(\cos x)$
证明：$\because \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$
故$\int_{0}^{\frac{\pi }{2} } f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }f[\sin (\frac{\pi }{2}-x)]$
得$\int_{0}^{\frac{\pi }{2} } f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }f(\cos x)$
奇变偶不变，符号看象限公式。
例题3：证明：$\int_{0}^{\pi} f(\sin x)dx=\frac{\pi }{2} \int_{0}^{\pi }f(\sin x)$
证明：$\because \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$
故$\int_{0}^{\pi} x \cdot f(\sin x)dx=\int_{0}^{\pi} (\pi-x)\cdot f[\sin (\pi-x)]dx$
$=\int_{0}^{\pi} (\pi-x)\cdot f(\sin x)dx$
$=\int_{0}^{\pi}\pi \cdot f(\sin x)dx-\int_{0}^{\pi}x \cdot f(\sin x)dx$
$\Longrightarrow 2\int_{0}^{\pi} x\cdot f(\sin x)dx=\pi \int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx$
$\Longrightarrow \int_{0}^{\pi} x\cdot f(\sin x)dx=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx$
故原式成立。
例题4：证明：$\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \frac{\sin ^3x}{\sin x+\cos x}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \frac{\cos ^3x}{\sin x+\cos x}dx$，并利用证明结果求$\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \frac{\sin ^3x}{\sin x+\cos x}dx$
解：$\because \int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{\sin ^3x}{\sin x+\cos x}dx$
$=\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{\sin ^3(\frac{\pi }{2}-x)}{\sin (\frac{\pi }{2}-x)+\cos (\frac{\pi }{2}-x)}dx$
$=\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{\cos ^3x}{\sin x+\cos x}dx$
故原式得证；
又$\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{\sin ^3x}{\sin x+\cos x}dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{\cos ^3x}{\sin x+\cos x}dx$
$=2\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{\sin ^3x}{\sin x+\cos x}dx$
$\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{\sin ^3x}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\cdot [\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{\sin ^3x+\cos ^3x}{\sin x+\cos x}dx]$
$=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{(\sin x+\cos x)\cdot (\sin ^2x-\sin x\cos x+\cos ^2)}{\sin x+\cos x}dx$
$=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2} } 1-\sin x \cos xdx$
$=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2} } 1dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\sin x \cos xdx$
$=\frac{1}{2}\cdot x|\begin{matrix}\frac{\pi }{2}\\0\end{matrix}-\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\sin x\sin x$
$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\sin x)^2|\begin{matrix}\frac{\pi }{2}\\0\end{matrix}$
$=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{4}=\frac{\pi -1}{4}$
例题5：证明：$F(x)=\int_{0}^{\pi }\ln(x^2+2x\cos t +1)dt$为偶函数。
证明：因为求证函数为偶函数，所以$F(x)=F(-x)$
$F(-x)=\int_{0}^{\pi }\ln(x^2-2x\cos t +1)dt$
又$\int_{0}^{\pi }\ln(x^2-2x\cos t +1)dt=\int_{0}^{\pi }\ln(x^2+2x\cos (\pi -t) +1)dt$
$=\int_{0}^{\pi }\ln(x^2+2x\cos t +1)dt=F(x)$
故$F(x)=F(-x)$，即$F(x)$为偶函数。

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定积分的几何应用

1. x型图：由上下两个函数围成的面积（分上下观看）
   公式：$S=\int_{a}^{b}f_上(x)-f_下(x)dx$
2. y型图：由左右两个函数围成的面积（分左右观看）
   公式：$S=\int_{c}^{d}f_右(y)-f_左(y)dx$
   注意：选用y型图，改写为x=f(y)
   解题思路：
   (1). 画图，确定积分区间（联立函数，找曲线交点）
   (2). 确定积分类型
   (3). 套公式
   例题1：求由曲线$y=x^2$与$y=\frac{1}{x}$与$x=2$所围成的图形面积。
   解：
   
   选择x型图 $S=\int_{1}^{2}(x^2-\frac{1}{x})dx$ $=\frac{1}{3}x^3-\ln x|\begin{matrix}2\\1\end{matrix}$ $=(\frac{8}{3}-\ln 2)-(\frac{1}{3}-\ln 1)$ $=\frac{7}{3}-\ln 2$ 例题2：求由曲线$y=x^2$与$y=\sqrt{x}$所围成的图形面积。
   解：
   联立两个方程$\left\{\begin{matrix}y=x^2\\y=\sqrt{x} \end{matrix}\right.$
   联立$x^2=\sqrt{x}$，得交点$(0,0),(1,1)$
   
   选择x型图 $S=\int_{0}^{1}(\sqrt{x}-x^2)dx$ $\int_{0}^{1}(x^{\frac{1}{2} }-x^2)dx$ $=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}x^3|\begin{matrix}1\\0\end{matrix}$ $=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=1$ 选择y型图 $S=\int_{0}^{1}(\sqrt{y}-y^2)dy$ $=\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}y^3|\begin{matrix}1\\0\end{matrix}$ $=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$ 例题3：求由曲线$y=\frac{1}{x}$、$y=x$、$x=2$及$x$轴所围成的图形面积。
   解：
   
   选择x型图 $S=S_1+S_2$ $S_1=\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}|\begin{matrix}1\\0\end{matrix}=\frac{1}{2}$ $S_2=\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=\ln |x| |\begin{matrix}2\\1\end{matrix}=\ln 2$ 即$S=S_1+S_2=\ln 2+\frac{1}{2}$

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定积分求旋转体积

1. x型图绕x轴旋转
   公式：$V_x=\pi \int_{a}^{b}f^2(x)dx$
   若是两个函数，$f_上(x),f_下(x)$间的体积，$V_x=\pi \int_{a}^{b}f_上^2(x)-f_下^2(x)dx$
2. y型图绕y轴旋转
   公式：$V_y=\pi \int_{c}^{d}f^2(y)dy$
   若是两个函数，$f_左(y),f_右(y)$间的体积，$V_y=\pi \int_{a}^{b}f_右^2(y)-f_左^2(y)dy$
3. x型图绕y轴旋转
   
   公式：$V=2\pi \int_{a}^{b}x\cdot f(x)dy$
   例题1：求由函数$y=\sin x，0\le x\le \pi$与$x$轴所围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体积。
   解：
   $V=2\pi \int_{a}^{b}x \cdot f(x)dx$ $=2\pi \int_{0}^{\pi}x\cdot \sin xdx$ $=-2\pi \int_{0}^{\pi}x d\cos x$ $=-2\pi (x\cdot \cos x|\begin{matrix}\pi\\0\end{matrix}-\int_{0}^{\pi}\cos xdx)$ $=-2\pi (\pi \cdot \pi-\sin x|\begin{matrix}\pi\\0\end{matrix})$ $=-2\pi (\pi \cdot (-1)-0$ $=2\pi ^2$ 例题2：求由函数$y=\sqrt{x}$与$x=4$及x轴所围成的面积和绕y轴旋转一周所得旋转体积。
   解：
   $S=\int_{0}^{4}\sqrt{x}dx$ $=\int_{0}^{4}x^{\frac{1}{2} }dx$ $=\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2} }|\begin{matrix}4\\0\end{matrix}$ $=\frac{2}{3}\cdot (4)^{\frac{3}{2} }$ $=\frac{16}{3}$ $V=\pi \int_{c}^{d}f_右^2(y)-f_左^2(y)dy$ $=\pi \int_{0}^{2}(4^2-y^4)dy$ $=\pi \int_{0}^{2}16-y^4dy$ $=\pi \cdot 1(6y-\frac{1}{5}x^5|\begin{matrix}2\\0\end{matrix}$ $=\pi \cdot (32-\frac{32}{5})$ $=\frac{128}{5}\pi$ 或$V=2\pi \int_{a}^{b}x \cdot f(x)dx$ $=2\pi \int_{0}^{4}x\cdot \sqrt{x}dx$ $=2\pi \int_{0}^{4}x^{\frac{3}{2} }dx$ $=2\pi \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2} }|\begin{matrix}4\\0\end{matrix}$ $=\frac{4\pi }{5} 4^{\frac{2}{5} }$ $=\frac{128}{5}\pi$